第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量一、二维随机变量的分布函数设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量.一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究.首先引入(X , Y )的分布函数的概念.定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y }称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数.分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率..由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1)(1)与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质:1︒ F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2︒ 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.（凡含-∞的概率分布为0） 3︒ F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ).4︒ 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0.注: 二元分布函数具有性质1︒~ 4︒, 其逆也成立(2︒中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1︒~ 4︒, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4︒是必不可少的, 即它不能由1︒~ 3︒推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量.设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0;111=∑∑∞=∞=i j ijp.我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为=),(y x F ∑∑≤≤==x x yy jii j y Y x X P },{=∑∑≤≤x x yy iji j p这里∑∑≤≤x x yy i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和.例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数..解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}=312231=⋅.同理, 有 P {X = 2, Y = 1}=31 , P {X = 2, Y = 2}=31. 即(X , Y )的分布律如右表所示.当x < 1, 或y < 1时, F {x , y } = 0; 当1 ≤ x < 2, 1 ≤ y <2时, F {x , y } = 0;当1 ≤ x < 2, y ≥ 2时, F {x , y } = =+1211p p 31; 当x ≥ 2, 1 ≤ y <2时, F {x , y } ==+2111p p 31; 当x ≥ 2, y ≥ 2时, F {x , y } = 1.所以, (X , Y )的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>⎩⎨⎧<≤≥⎩⎨⎧≥<≤⎩⎨⎧<≤<≤<<=.2,2,1,21,22,21,31,21,2111,0),(y x y x y x y x y x y x F 或或或三、二维连续型随机变量设二维随机变量(X , Y )的分布函数为F {x , y }, 若存在非负函数f (x , y ), 使对任意的x 、y 有⎰⎰∞-∞-=y x dudv v u f y x F ),(),(，则称(X , Y )为连续型的二维随机变量, f (x , y )称为二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度, 或称随机变量X 、Y 的联合概率密度.概率密度f (x , y )具有以下性质: 1︒ f (x , y ) ≥ 0; 2︒1),(),(=+∞+∞=⎰⎰∞+∞-∞+∞-F dxdy y x f3︒ 若f (x , y )在点(x , y )处连续, 则有),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂ 4︒ 设G 是xOy 平面上的一个区域, 则点(X , Y )落在G 内的概率为⎰⎰=∈Gdxdy y x f G Y X P ),(}),{( (2)例2 设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0,2),()(其它y x Ae y x f y x求: (1) 系数A ; (2) 分布函数F (x , y ); (3) 概率P {(X , Y )∈D }, 其中D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1.解: (1) 由1),(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f , 得21=A . (2) ⎰⎰∞-∞-+-=yxy x dxdy e y x F )(),(=⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰+-,,0,0,0,00)(其它y x dxdy e yxy x =⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(其它y x e e yx (3) edxdy e e dxdxdy y x f Y X P xy x D21),()},{(1010-===⎰⎰⎰⎰---. 例3 设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=,,0,20,10,3),(2其它y x xy x y x f , 求P {Y ≥ X }.解: P {Y ≥ X }=2417)3(),(221=+=⎰⎰⎰⎰≤xxy dy xy x dxdxdy y x f . 以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到n (n > 2)维随机变量的情形. 一般地, 设E 是一个随机试验,它的样本空间为S , 设X 1、X 2、…、X n 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个n 维向量(X 1, X 2, …, X n )称为n 维随机向量或n 维随机变量.对任意n 个实数x 1、x 2、…、x n , n 元函数F (x 1, x 2, …, x n ) = P {X 1 ≤ x 1, X 2 ≤ x 2, …, X n ≤ x n }称为n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的分布函数或随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合分布函数, 它具有与二元分布函数类似的性质.第二节 边 缘 分 布设(X , Y )是二维随机变量, 其分布函数为F (x , y ), 事件{X ≤ x }即为{ X ≤ x , Y < +∞}, 从而由(X , Y )的分布函数可定出X 的分布函数, 记为F X (x ).F X (x ) = P {X ≤ x } = P { X ≤ x , Y < +∞} = F (x , +∞)=),(lim y x F y +∞→.我们称F X (x )为关于X 的边缘分布函数. 类似的可定义关于Y 的边缘分布函数为F Y (y ) = P {Y ≤ y } = P {X < +∞, Y ≤ y }= F (+∞, y ) = ),(lim y x F x +∞→.一、离散型设(X , Y )为二维离散型随机变量, 其分布律为P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …), 则∑∑≤∞==+∞=x x j ijX i px F x F 1),()(, ∑∑≤∞==+∞=y y i ijY i py F y F 1),()(.从而X 与Y 的分布律分别为 ∑∞===1}{j iji px X P , i = 1, 2, …; ∑∞===1}{i ijj py Y P , j = 1, 2, …;记=⋅i p ∑∞===1}{j iji px X P , i = 1, 2, …;=⋅j p ∑∞===1}{i ijj py Y P , j = 1, 2, ….分别称p i ⋅和p ⋅ j 为(X , Y )关于X 与Y 的边缘分布律.注: 1︒ 边缘分布律具有一维分布律的一般性质. 2︒ 联合分布律唯一决定边缘分布律, 反之不然. 二、连续型设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为f (x , y ), 由⎰⎰∞-∞+∞-=+∞=xX dx dy y x f x F x F ]),([),()(;⎰⎰∞-∞+∞-=+∞=yY dy dx y x f y F y F ]),([),()(.知X 与Y 都是连续型随机变量. 它们的概率密度分别为⎰∞+∞-=dy y x f x f X ),()(;⎰∞+∞-=dx y x f y f Y ),()(.称f X (x )与f Y (y )分别为(X , Y )关于X 与Y 的边缘概率密度.例2 设D 是平面上的有界区域, 其面积为A , 若二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=,,0,),(,1),(其它D y x Ay x f 则称(X , Y )在D 上服从均匀分布.现(X , Y )在以原点为中心、1为半径的圆域上服从均匀分布, 求边缘概率密度.解: 由1),(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f , 得A = π.当|x | < 1时, ⎰∞+∞-=dy y x f x f X ),()(21112122x dy x x -==⎰---ππ; 当|x | ≥ 1时, f X (x ) = 0, 即⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1,0,1,12)(2x x x x f X π同理可得, ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1,0,1,12)(2y y y y f Y π例3 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------⋅-=2222212121212221)())((2)()1(21exp 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞<<∞-+∞<<∞-y x . 其中μ1、μ2、σ1、σ2、ρ 都是常数, 且σ1 > 0, σ2 > 0, -1 < ρ < 1. 我们称(X , Y )为服从参数为μ1、μ2、σ1、σ2、ρ的二维正态分布, 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解: 令m = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----222221212121)())((2)(σμσσμμρσμy y x x2121212122121221212222)()()())((2)(σμσμρσμρσσμμρσμ-+---+----=x x x y x y2121221122)()1(σμρσμρσμ--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=x x y . 所以, ⎰∞+∞-=dy y x f x f X ),()(=⎰∞+∞----dy e m )1(22212121ρρσπσ⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--------=dy eex y x 2112222121)1(212)(221121σμρσμρσμρσπσ.令⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1122211σμρσμρx y t , 则dt dy 221σρ⋅-=, 从而, 22222)1(211212211222ρσπσρσμρσμρ-=⋅-=⎰⎰∞+∞--∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----dt edy et x y . 所以, 21212)(121)(σμσπ--=x X ex f (+∞<<-∞x ). 同理可得, 22222)(221)(σμσπ--=y Y e y f (+∞<<-∞y ).表明, ),(~211σμN X , ),(~222σμN Y . 此例说明, 二维正态随机变量(X , Y )中的X 、Y 都服从正态分布, 并且与参数ρ 无关. 所以对于确定的μ1、μ2、σ1、σ2而取不同的ρ, 对应了不同的二维正态分布, 但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布. 因此, 仅由关于X 和Y 的边缘概率密度(分布), 一般不能确定X 和Y 的联合概率密度(分布).第四节 相互独立的随机变量我们知道, 两事件A 、B 相互独立的充要条件是 P (AB ) = P (A )P (B )由此我们引进随机变量相互独立的定义.定义 设F (x , y )及F X (x )、F Y (y )分别是二维随机变量(X , Y )的分布函数及边缘分布函数, 若对于所有的x 、y , 有 P {X ≤ x , Y ≤ y } = P {X ≤ x } P {Y ≤ y }, 即F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) (1) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的.可见, 在随机变量X 和Y 相互独立的情况下, 由关于X 和Y 的边缘分布函数就唯一地确定(X , Y )的联合分布函数, 而且还可推得}{},{}/{x X P x X y Y P x X y Y P ==≤==≤}{},{lim 0x x X x P x x X x y Y P x ∆+≤≤∆+≤≤≤=→∆),(),(),(),(lim0+∞-+∞∆+-∆+=→∆x F x x F y x F y x x F x )()()()()()()()(lim0+∞-+∞∆+-∆+=→∆YX Y X Y X Y X x F x F F x x F y F x F y F x x F )()()()]()([lim 0x F x x F y F x F x x F X X Y X Xx -∆+-∆+=→∆= F Y (y ) = P {Y ≤ y }. 这就是说在X 和Y 相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同, 即条件分布化成了无条件分布. 一、离散型设二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …),(X , Y )关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为=⋅i p ∑∞===1}{j iji px X P , i = 1, 2, …;=⋅j p ∑∞===1}{i ijj py Y P , j = 1, 2, ….则X 和Y 相互独立的充要条件是P {X = x i , Y = y j } = P {X = x i } P {Y = y j }, 即p ij =⋅i p j p ⋅(2)二、连续型设二维连续型随机变量(X , Y )的联合概率密度为f (x , y ), 关于X 和Y 的边缘概率密度为f X (x )和f Y (y ), 则X和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) (3) 几乎处处成立.例3 设(X , Y )服从二维正态分布, 即其联合概率密度为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------⋅-=2222212121212221)())((2)()1(21exp 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞<<∞-+∞<<∞-y x . 证明: X 和Y 相互独立的充要条件是ρ = 0.例4 若(X , Y )的联合概率密度为⎩⎨⎧≥≥=+-,,0,0,0,),()(其它y x e y x f y x 则X 和Y 相互独立.证: 显然⎩⎨⎧≥=-,,0,0,)(其它x e x f x X ⎩⎨⎧≥=-,,0,0,)(其它y e y f y Y 故有f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ). 从而X 和Y 相互独立.例5 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X 在[0, 0.2]上服从均匀分布, Y 的概率密度为⎩⎨⎧≥=-,,0,0,5)(5其它y e x f y Y试求: (1) X 与Y 的联合概率密度; (2) P {Y ≤ X }.解: (1) 由已知条件, 得⎩⎨⎧≤≤=,,0,2.00,5)(其它x x f X 从而得X 与Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧≥≤≤=-.,00,2.00,25),(5其它y x e y x f y(2) P {Y ≤ X }= P {Y - X }⎰⎰≥-=),(y x dxdy y x f ,积分区域如图, 化成二次积分后得⎰⎰≈=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≤-2.00103679.0),(}{e dx dy y x f X Y P x .以上关于二维随机变量的一些概念, 很容易推广到n 维随机变量的情形.设n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合分布函数为F (x 1, x 2, …, x n ), 若存在非负函数f (x 1, x 2, …, x n ), 使得对于任意实数x 1、x 2、…、x n , 有F (x 1, x 2, …, x n ) =⎰⎰⎰∞-∞-∞--n n x x x n n dx dx dx x x x f 112121),,,(,则称f (x 1, x 2, …, x n )为n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合概率密度.称),,,()(111+∞+∞= x F x F X , ),,,,(),(2121,21+∞+∞= x x F x x F X X , …为关于X 1, (X 1, X 2), …的边缘分布函数, ⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-=n n X dx dx dx x x x f x f32211),,,()(1,⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-=n n X X dx dx dx x x x f x x f432121,),,,(),(21, …为关于X 1, (X 1, X 2), …的边缘概率密度.若对于所有的x 1、x 2、…、x n , 有F (x 1, x 2, …, x n ))()()(2121n X X X x F x F x F n =, 则称X 1, X 2, …, X n 是相互独立的, 对离散型即连续型随机变量, 也有类似的结论. 若对于所有的x 1、x 2、…、x m ; y 1、y 2、…、y n , 有F (x 1, x 2, …, x m ; y 1, y 2, …, y n ) = F 1 (x 1, x 2, …, x m ) F 2 (y 1, y 2, …, y n )其中F 1、F 2和F 依次为(X 1, X 2, …, X m )、(Y 1, Y 2, …, Y n )和(X 1, X 2, …, X m ; Y 1, Y 2, …, Y n )的分布函数, 则称随机变量(X 1, X 2, …, X m )和(Y 1, Y 2, …, Y n )是相互独立的.定理 设随机变量(X 1, X 2, …, X m )和(Y 1, Y 2, …, Y n )相互独立, 则X i (i = 1, 2, …, m )与Y j (j = 1, 2, …, n )相互独立. 又若h 、g 是连续函数, 则h (X 1, X 2, …, X m )和g (Y 1, Y 2, …, Y n )也相互独立.第三节、条件分布离散型：在已知X=x i 的条件下，Y 取值的条件分布为；•===i ij i j p p x X y Y P )|( 在已知Y=y j 的条件下，X 取值的条件分布为,)|(jij j i p p y Y x X P •===连续型：在已知Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为)(),()|(y f y x f y x f Y =； 在已知X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为)(),()|(x f y x f x y f X =例3.9： 设二维连续型随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，其中},1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D 求X 的边缘密度()X f x 和X 的边缘密度()Y f y解：1,(,)20,.Df x y ⎧⎪=⎨⎪⎩其他111111,10;21()(,)1,01;20,.x x x X x dy x x f x f x y dy dy x x +--+∞+-∞-⎧=+-<<⎪⎪⎪===-<<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰－其他例3.10 设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X 服从泊松分布()P λ，每个顾客购买某种商品的概率为p ，并且每个顾客是否购买某种商品相互独立，求进入商店的顾客购买该种商品的人数Y 的分布列。