第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点落在矩形域的概率为),(Y X ],[2121y y y x x x ≤<≤< .),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-2、的分布函数为，则 0 .),(Y X ),(y x F =-∞),(y F3、的分布函数为，则),(Y X ),(y x F =+),0(y x F ),(y x F4、的分布函数为，则),(Y X ),(y x F =+∞),(x F )(x F X5、设随机变量的概率密度为),(Y X ，则.⎩⎨⎧<<<<--=其其042,20)6(),(y x y x k y x f =k 816、随机变量的分布如下，写出其边缘分布.),(Y X 7、设是的联合分布密度，是的边缘分布密度，则1 .),(y x f Y X ,)(x f X X =⎰∞+∞-)(x f X8、二维正态随机变量，和相互独立的充要条件是参数 0.),(Y X X Y =ρXY0123jP ⋅10838308638108182⋅i P 818383819、如果随机变量的联合概率分布为),(Y X YX12316191181231αβ则应满足的条件是 ；若与相互独立，则 ， .βα,186=+βαX Y =α184=β18210、设相互独立，，则的联合概率密度Y X ,)1.0(~),1,0(~N Y N X ),(Y X，的概率密度.=),(y x f 22221y x e +-πY X Z +==)(Z f Z 42221x e-π12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为则 A =__1___。

()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,222二、证明和计算题1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为，第二次取的球上标的数字，求的联合分布律.X Y ),(Y X 解： 031}1,1{⋅===Y X P 31131}2,1{=⋅===Y X P 312132}1,2{=⋅===Y X P 312132}2,2{=⋅===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设为投入1号信箱的信数，为投入2X Y 号信箱的信数，求的联合分布律.),(Y X 解：的可能取值为0,1,2,3的可能取值为0,1,2,3X Y331}0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 3323333}2,0{====C Y X P XY 12103123131331}3,0{===Y X P 333}0,1{===Y X P 3323}1,1{⨯===Y X P3313}2,1{⨯===Y X P 0}3,1{===Y X P 3233}0,2{C Y X P === 333}1,2{===Y X P 0}2,2{===Y X P 0}3,2{===Y X P 331}0,3{===Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P X Y123271273273271127327627322732730032710003、设 函 数 F(x , y) = ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的⎩⎨⎧≤+>+120121y x y x 联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。

解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数因 P{0 < ξ ≤ 2， 0 < η ≤1}= F(2 , 1) F(0 , 1) F(2 , 0) + F(0 , 0)- - = 11 1 + 0 = 1 < 0- - - 故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。

4、设，有⎰+∞=≥01)(,0)(dx x g x g 且⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤++=其它,0,0,][)(2),(2222y x y x y x g y x f π证明：可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。

),(y x f 证明：易验证，又),(y x f 0≥=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(dxdyyx y x g ⎰⎰∞+∞+++02222)(2π⎰⎰⎰∞+∞+==21)()(2dr r g rdr r g d πθ符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。

5、在[ 0,] 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y ，求}的值。

π0){cos(<+Y X P 解：，＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,0,0,1),(2ππy x y x f 0){cos(<+Y X P 43232{=<+<ππY X P 6、设随机变量的密度函数为),(Y X ⎩⎨⎧>>=+-其其0,0),()43(y x ke y x f y x (1)确定常数(2)求的分布函数(3)求k ),(Y X }20,10{≤<≤<Y X P 解：(1)⎰⎰∞∞+-=00)43(1dx e k dy y x ⎰⎰∞∞∞-∞---=-⋅-=0003043412]31[]41[k e e k dx e dy e k x y x y 12=∴k (2)⎰⎰--+---⋅==y x y x v u e e dudv e y x F 0043)43()1)(1(1211212),()1)(1(43y x e e ----=0,0>>y x 0),(=y x F (3))2,0()0,1()0,0()2,1(}20,10{F F F F Y X P --+=≤<≤<95021.00)1)(1(83=+--=--e e 7、设随机变量的概率密度为),(Y X 求⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其其20,103/),(2y x xy x y x f }1{≥+Y X P 解：⎰⎰⎰⎰≥+-+==≥+112123(),(}1{y x xdy xyx dx dxdy y x f Y X P ⎰=++=10327265)65342(dx x x x8、设随机变量在矩形区域内服从均匀分布，),(Y X },|),{(d y c b x a y x D <<<<= (1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量是否独立？Y X ,解：(1)根据题意可设的概率密度为),(Y X ⎩⎨⎧<<<<=其其,),(dy c b x a My x f ⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---===badcc d a b M dy dx M dxdy y x f ))((),(1于是，故))((1c d a b M --=⎩⎨⎧<<<<--=其其0,))(/(1),(dy c b x a c d a b y x f ⎰⎰∞+∞--=--==dcX ab c d a b dy dy y x f x f 1))((),()(即⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其其1)(b x a ab x f X ⎰⎰∞+∞--=--==ba Y cd c d a b dx dx y x f y f 1))((),()(即⎩⎨⎧<<-=其其)/(1)(d y c c d y f Y (2)因为，故与是相互独立的.)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=X Y 9、随机变量的分布函数为求：),(Y X ⎩⎨⎧≥≥+--=----其它,00,0,3331),(y x y x F y x y x （1）边缘密度；（2）验证X,Y 是否独立。

解：（1）， )33(3ln ),(y x xx y x F ----⨯=∂∂,33ln ),(22yx y x y x F --⨯=∂∂∂.0,0>>y x⎩⎨⎧<>⨯=--其它00,033ln ),(2yx y x f y x,⎪⎩⎪⎨⎧>⨯=⨯=---+∞⎰其它0033ln 33ln )(20x dy x f x y x X⎪⎩⎪⎨⎧>⨯=⨯=---+∞⎰其它00,33ln 33ln )(20y dx x f y y x Y (2) 因为，故与是相互独立的.)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=X Y 10、一电子器件包含两部分，分别以记这两部分的寿命(以小时记)，设的分布函Y X ,),(Y X数为⎩⎨⎧≥≥+--=+---其其00,01),()(01.001.001.0y x e e e y x F y x y x (1)问和是否相互独立？ (2)并求X Y }120,120{>>Y X P 解：(1)⎩⎨⎧<≥-=+∞=-001),()(01.0x x e x F x F x X⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0001),()(01.0y y e y F y F yY易证，故相互独立.),()()(y x F y F x F Y X =Y X ,(2)由(1)相互独立Y X ,}]120{1[}]120{1[}120{}120{}120,120{≤-⋅≤-=>⋅>=>>Y P X P Y P X P Y X P 091.0)]120(1)][120(1[42==--=⋅-e F F Y X 11、设 随 机 变 量 (ξ , η)的 分 布 函 数 为 求：( 1 )F x y A B arctg xC arctg y (,)()=++23系 数 A , B 及 C 的 值 ， ( 2 ) (ξ , η)的 联 合 概 率 密 度 ϕ(x , y)。

解：( 1 ) F A B C (,)()(+∞+∞=++=ππ221F A B C (,)()()-∞+∞=-+=ππ22F A B C (,)()()+∞-∞=+-=ππ220由 此 解 得A B C ===122ππ,,( 2 ) ϕπ(,)()()x y x y =++64922212、设相互独立且分别具有下列表格所定的分布律),(Y X 试写出的联合分布律.),(Y X 解：XY2-1-02121-8161241611161121481121316112148112113、设相互独立，且各自的分布律如下：Y X ,求的分布律.Y X Z +=解：,2,1,0}{===k P k X P k,2,1,0}{===γγγq Y P 的分布律为Y X Z +=,2,1,0}{===-i q P i Z P ki k 的全部取值为2,3,4Z 412121}1{}1{}1,1{}2{=⋅========Y P X P Y X P Z P }1,2{}2,1{}3{==+====Y X P Y X P Z P Y 21-13kP 214141X 2-1-021kP 413112131X 12kP 2121Y12kP 21212121212121}1{}2{}2{}1{=⋅+⋅===+===Y P X P Y P X P 412121}2{}2{}2,2{}4{=⋅========Y P X P Y X P Z P 14、 X,Y 相互独立，其分布密度函数各自为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=00021)(21x x ex f x X ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=00031)(3y y ey f yY 求的密度函数.Y X Z +=解：的密度函数为，Y X Z +=⎰∞+∞--=dx x Z f x f Z f Y X Z )()()(由于在时有非零值，在即时有非零值，)(x f X 0≥x )(x Z f Y -0≥-x Z Z x ≤故在时有非零值)()(x Z f x f Y X -Z x ≤≤0⎰⎰-----=⋅=ZZ xZ xZ xZ dx e edx e e Z f 06332613121)()1(][6363Z Z Z x Z eee e -----=-=当时，0≤Z 0)(=Z f 故⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--000)1()(63Z Z e e Z f Z Z Z。