-0.8 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
-0.8
-1
-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
采样定理 频混计算：
正常
Fs
Fs
频混
Fs
Fs
工程处理： 混迭频率=Fs-信号频率
Fs/2
模数(A/D)和数模(D/A) 2、D/A转换过程和原理
D/A转换器是把数字信号转换为电压或电流信号的装置。
D/A转换器的技术指标
分辨率; 转换速度; 转换精度;
模数(A/D)和数模(D/A) A/D、D/A转换过程中的量化误差
模数(A/D)和数模(D/A) A/D、D/A转换过程中的量化误差
为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。
信号的截断、能量泄漏 周期延拓信号与真实信号是不同的：
能量泄漏误差
信号的截断、能量泄漏
周期延拓后的信号与真实信号是不同的， 从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。 设有余弦信号x(t), 用矩形窗函数w(t)与其相乘，得到截断信 号: y(t) =x(t)w(t)
DFT与FFT
连续时间信号x(t)经过加窗截断后在区间[0,T]上经过A/D Δt=1/fs 转换离散化，采样间隔Δt按采样频率确定为： 在时间点｛0,Δt,2Δt,3Δt,....｝进行取样，得到长度 为N（N=T/Δt）的时间序列{x(n)}。 经加窗和周期延拓处理后的信号是一个周期信号，其傅立 叶积分式为： 对周期信号xT(t)采样得离散序列xT(n),将积分转为集合：
采样定理 每个周期应该有多少采样点 ？
不致丢失原始信 号的信息，或者 说，可由采样信 号无失真地恢复 出原始信号？
最少2点:
采样定理
图(a)是频率正确的情况，以及其复原信号； 图(b)是采样频率过低的情况，复原的是一个虚假的低频信号
采样定理
样脉冲序列： 采样信号： xs(t)=x(t)p(t) 如果： F[x(t)]=X(ω) F[p(t)]=P(ω)
最常见的FFT算法要求N是2的幂次。假定信号分析仪中的采样点数 为1024点，DFT要求一百万次以上的计算工作量，而FFT则只要求 10240次计算。显然，FFT可大大节约计算量，故在信号处理中中 广泛采用FFT算法。 目前FFT算法已有专用硬件芯片和软件模块，使用中直接选用；
Hale Waihona Puke DFT与FFT当采样点数为1024点,DFT要求一百万次以上计算量，而 FFT则只要求一万次。
采样定理
理想脉冲采样过程如图所示
xs(t)=x(t)p(t)
采样定理
上述情况中，如果ωs＞ 2ωm，就不发生频混现象， 因此对采样脉冲序列的间隔 Ts须加以限制，即采样频率 ωs（2π／Ts）或 fs(1／Ts ）必须大于或等于信号x(t) 中的最高频率ωm的两倍， 即ωs＞2ωm，或 fs＞2fm。
DFT与FFT 展开，得连续傅立叶变换计算公式：
用计算机编程很容易计算出指定频率点值：
DFT与FFT
采样信号频谱是一个连续频谱，不可能计算出所有频率点 值，设频率取样间隔为：
Δf = fs / N
频率取样点为｛0,Δf,2Δf,3Δf,....｝，有：
该公式就是离散傅立叶计算公式(DFT)
DFT与FFT 2、快速傅立叶变换
信号的截断、能量泄漏
能量 泄漏 实验：
信号的截断、能量泄漏 克服方法之一：信号整周期截断
DFT与FFT
1、离散傅立叶变换 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）一词是为适 应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。 对信号进行博里叶变换（FT）或逆傅 里叶变换（IFT）运算时，无论在时域 或在 频域都需要进行包括（-∞，＋ x(t) 截断、周期延拓 xT(t) ∞）区间的积分运算，在计算机上实 现这一运算，必须做到： l)把连 续信号（包括时域、频域）改 周期信号xT(t)的傅里叶变换： 造为离散数据； 2)把计算范围收缩到一个有限区间； 3)实现正、逆博里 叶变换运算．
模数(A/D)和数模(D/A) 2) A/D转换器的技术指标 (3)转换精度
在量化过程中由于采用了四舍五入的方法，因此最大量化误差应 为分辨力数值的一半；
如一个8位的AD转换器，其最大量化误差应为: 80mV×0.5= 40 mV， 全量程的相对误差则为 0.4% （40mV／10V×100%）。 可见，A／D转换器数字转换的精度由最大量化误差决定。实际上，许多转换器 末位数字并不可靠，实际精度还要低一些。 由于含有A／D转换器的模数转换模块通常包括有模拟处理和数字转换两部分 ，因此整个转换器的精度还应考虑模拟处理部分（如积分器、比较器等）的 误差。一般 转换器的模拟处理误差与数字转换误差应尽量处在同一数量级， 总误差则是这些误差的累加和。 例如，一个10位A／D转换器用其中 9位计数时的最大相对量化误差为29×0. 5≈ 0.1% 若模拟部分精度也能达到 0.1% 则转换器总精度可接近0.2%。
N 1 2 2 E[ x (t )] x ( n) N n 0
数字信号处理概述
2)计算机软硬件技术发展的有力推动
a)多种多样的工业用计算机。
包括尺寸小 巧，功能强大 的嵌入式计算 机
数字信号处理概述
b)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统
模数(A/D)和数模(D/A) 1、A/D转换
包括了采样、量化、编码等过程，其工作原理如图示
采样定理
频混现象实验：
4550
采样定理
A/D采样前的抗混迭滤波：
物理信号
对象
传 感 器
电信号
放 大 调 制
电信号
A/D 转换
数字信号
展开 放大 低通滤波 (0-Fs/2)
信号的截断、能量泄漏
用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的信号 进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析，这个 过程称信号截断。
例如，某 A／D转换器输入模拟电压的变化范围为-10V～+10V ，转换器为 8位，若第一位用来表示正、负符号，其余 7位表 示信号幅值，则： 最末一位数字可代表的模拟电压： 10 V×1／27≈ 80mV ，即转换器可以分辨的最小模拟电压为80mV。 而同样情况用一个 10位转换器能分辨的最小模拟电压为20mV （10V×1／29≈80mV）；
DFT与FFT
3、FFT算法的应用
FFT是实施DFT的一种快速算法，提供了快速频谱分析方法。
FFT算法可以直接用来处理离散数字信号，也可以用于连续 时间信号分析的逼近。主要有： FT近似运算； 谐波分析； 快速卷积运算； 快速相关运算； 功率谱估计等
有大量重复的cos、sin计算，FFT的作用就是用技巧减少 cos、sin项重复计算。
DFT与FFT
不失一般性，将离散傅立叶变换公式简写成：
e
j 2
1
j 2 / N j 2 kn/ N
X(k+N)=X(k)
WN e
nk N
表明X(k)是 以N为周期的 序列和频谱
W e
DFT与FFT 旋转因子是复数，x(n)也可能是复数形式，这样，要完成 上面矩阵运算共需N2次复数乘法和N(N-1)复数加法。 可见，计算量与N2成正比，随着的增加，总运算次数将会 急剧增加； FFT分利用了旋转因子具有周期性及合理分解的特点，从 而使总的计算次数从N2量级减少到Nlog2N量级，极大地提 高了运算速度，故形成了快速傅立叶变换 ；
此式表明，一个连续信 号经过理想采样以后，它 的频谱将沿着频率轴每隔 一个采样频率ωs ,重复出 现一次，即其频谱产生了 周期延拓，其幅值被采样 脉冲序列的傅立叶系数（ Cn=1/Ts)所加权，其频 谱形状不变
根据频域卷积定理，有： X s(ω)=X(ω)*P(ω)/2 π 可以证明，采样脉冲序列 p(t) 的频谱是间隔为ωs的周 期延拓，所以，可以进一步 证明
采样定理 例：
采样定理 频域解释
0
t
0
f
0
t
0
f
0
t
0
f
采样定理
采样定理
需注意，满足采样定理，只保证不发生频率混叠，而不能保 证此时的采样信号能真实地反映原信号x(t)。 工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的3到5倍。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
模数(A/D)和数模(D/A)
4位A/D: XXXX
X(1) 0101 X(2) 0011 X(3) 0000
模数(A/D)和数模(D/A) 2) A/D转换器的技术指标 (1) 分辨率
用输出二进制数码的位数表示； 位数越多，量化误差越小，分辨力越高。
常用有8位、10位、12位、16位、24 位等。
采样定理
采样定理说明了一个问题，即当对时域模拟信号采样时， 应以多大的采样周期（或称采样时间间隔）采样，方不致 丢失原始信号的信息，或者说，可由采样信号无失真地恢 复出原始信号。 采样是将采样脉冲序列 p(t)与信号x(t) 相乘，取离散点x(nt)的值的过程。
采样定理
X(0), X(1), X(2), ……, X(n)
数字信号处理技术
学习要求： 1.了解信号模数转换和数模转换原理 2.掌握信号采样定理，能正确选择采样频率 3.了解数字信号处理中信号截断、能量泄露、栅栏效 应等现象 4.掌握常用的数字信号处理方法
数字信号处理概述
1、数字信号处理的主要研究内容