三角函数基本概念 1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．(3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|β=α＋k ·360°，k ∈Z }(或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z })． 2．象限角3．弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示．(2)角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么l ＝rα，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ l r .(3)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；② 1 rad ＝︒π180(4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2 . 三角函数 正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做的正弦，记作sinx 叫做的余弦，记作cosxy叫做的正切，记作tan α 三角函数正弦 余弦 正切 各象限符号Ⅰ正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ负正负各象限符号口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线6．对任意角的理解(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的 集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k ∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等． 例1：－870°的终边在第几象限 ( ) 解：因－870°＝－2×360°－150°，－150°是第三象限角．故选C 。

例2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是 ( ) A.2π3 B.11π6 C.5π6 D.3π4解：∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π.A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解：由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．选C 。

例4．若点P 在2π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于________．解：因tan 2π3＝－3＝－y ，∴y ＝ 3.解：弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝α·r 得r ＝l α＝3π34π＝4，面积S ＝12lr ＝6π.例6：(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合．解：(1)由α是第三象限的角得π＋2k π<α<3π2＋2k π⇒－3π2－2k π<－α<－π－2k π，即π2＋2k π<－α<π＋2k π(k ∈Z)．∴角－α的终边在第二象限；由π＋2k π<α<3π2＋2k π得2π＋4k π<2α<3π＋4k π(k ∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴．(2)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝π3＋k π，k ∈Z}．例7：若角β的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°范围内，终边与角β3的终边相同的角为________．解：∵β＝k ·360°＋60°，k ∈Z ，∴β3＝k ·120°＋20°，k ∈Z.又0°≤β3＜360°，∴0°≤k ·120°＋20°<360°，k ∈Z ，∴－16≤k ＜176，∴k ＝0,1,2.此时得β3分别为20°，140°，260°.故在0°～360°范围内，与角β3的终边相同的角为20°，140°，260°.A ．B ．C ．D ．2. 若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在（ ）A.x 轴的非负半轴上B.y 轴的非负半轴上C.x 轴的非正半轴上D.y 轴的非正半轴上 3．在﹣360°～0°范围内与角1250°终边相同的角是（ ） A ．﹣210° B ．﹣150° C ．﹣190° D ．﹣170° 4.已知sin θ•tan θ＜0，那么角θ是（ ）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角 5.下列命题正确的是（ ）A ．第一象限角是锐角B ．钝角是第二象限角C ．终边相同的角一定相等D ．不相等的角，它们终边不相同 6.把﹣1125°化成α+2kπ（0≤α＜2π，k ∈Z=）的形式是（ ）A ．﹣﹣6πB ．﹣6πC ．﹣﹣8πD ．﹣8π7.角α=2，则α所在象限角为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.已知扇形的面积为2 cm 2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 9．下列说法中，正确的是（ ）A ．第二象限的角是钝角B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．﹣831°是第二象限角D ．﹣95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 10.已知α的终边在第一象限，则角的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第一或第三象限D ．第一或第四象限11.已知集合ππ,24k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，ππ,42k P x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则( ).A.M P =B.M PC.M PD.M P =∅12.若{|360,}A k k Z αα==⋅∈；{|180,}B k k Z αα==⋅∈；{|90,}C k k Z αα==⋅∈，则下列关系中正确的是（ ）A ABC == B A B C = C A B C =D A B C13.已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是 ( ) A.23 B.32 C.23π D.32π 14.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) A.π3 B.2π3C. 3 D ．2 15.在直角坐标系中，一动点从点A （1，0）出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动π弧长，到达点B ，则点B 的坐标为（ ） A ．（﹣，） B ．（﹣，﹣）C ．（﹣，﹣）D ．（﹣，）16已知扇形的周长为8cm ，则该扇形的面积S 值最大时圆心角的大小为（ ） A ．4弧度 B ．3弧度 C ．2弧度 D ．1弧度17.若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为（ ）A ．2kπ+β （k ∈Z ）B ．2kπ﹣β （k ∈Z ）C ．kπ+β （k ∈Z ）D ．kπ﹣β （k ∈Z ） 18.如果α在第三象限，则一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 19.已知α终边上的一点P 坐标是（sin2，﹣cos2），则α的一个弧度数为（ ） A ．π+2 B ．+2C ．﹣2 D ．2﹣20.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A ．120° B ．150° C ．180° D ．240°21.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么此圆心角所夹扇形的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．tan122．（2014春•夏津县校级期末）一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．R 2﹣sin1•cos1•R 2任意角三角函数求法1三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ， cos α＝x ，tan α＝yx，但是若不是单位圆时，如圆的半径为r ， 则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.2若已知角α的终边上有异于原点的点的坐标A (x ，y )，求角α的三角函数值时，则应先求|OA |＝r ，然后再利用定义sin α＝y r ， cos α＝x r ，tan α＝yx 求解．3. 同角三角函数的关系：平方关系：1cos sin 22=+αα商数关系：αααcos sin tan = 常考模型一：已知一三角函数值，求另外两个三角函数值 例8：（1）已知 31sin =α ，求 ααtan ,cos 的值； 解：222sin cos 1sin ,tan 223cos ααααα=±-=±==± （2）已知 2cos -=α ，且α 在第三象限，求 ααtan ,sin 的值； 解：23sin sin 1cos ,tan 32cos ααααα=±-=-==+ αααcos 的值。

解：222222515tan ;1,2;sin ,cos 5555yy x x y xx yx yααα=∴=-=∴=+===-=-=-++例9：已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于 ( )A ．－114 B.114C ．－4D ．4解：由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45，又m <0，解得m ＝－4.( )A.22 B ．－22 C.22或－22 D ．1 解：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，sin θ＝a r＝a2|a |＝⎩⎨⎧22(a >0)，－22(a <0)所以sin θ的值是22或－22. 齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：222222sin cos sin cos +sin cos sin cos +sin cos sin cos sin cos a b a b c a b c c d αααααααααααααα+++⇒++或者例11：已知2tan =α，求：（1）ααααcos sin cos sin -+ （2）ααα222sin cos 32sin -+（3）2cos sin sin 2++ααα 解：（1）tan 13tan 1αα+==-原式 （2）2222222sin 2sin +2cos 3tan +2==143cos sin 3tan ααααααα+=---原式 （3）2222222sin sin cos 2sin 2cos 3tan tan 216=sin cos tan 15αααααααααα+++++==++原式 23.设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限24.已知3cos 5α=-，α是第二象限角，那么tan α的值等于（ ）。