当前位置:文档之家› 高等数学微分方程试题

高等数学微分方程试题

第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念一、判断题1x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。

( )2(y '')3是二阶微分方程。

( )3.微分方程的通解包含了所有特解。

( )4.若微分方程的解中含有任意常数,则这个解称为通解。

( )5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。

( )二、填空题1. 微分方程.(76y)0的阶数是 。

2. 函数34 微分方程的解。

3. 积分曲线(12)e x 2中满足0=0, y '0=1的曲线是 。

三、选择题1.下列方程中 是常微分方程(A )、x 222(B)、 0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ∂∂22y a ∂∂0 (D )、y ''22 2.下列方程中 是二阶微分方程(A )(y '')2y '2=0 (B) (y ') 2+3x 23 (C) y '''+3y ''0 (D)y '2 3.微分方程22dxy d 20的通解是 其中12均为任意常数 (A ) (B) (C)12 (D)4. C 是任意常数,则微分方程y '=323y 的一个特解是(A )(2)3 (B)3+1 (C) ()3 (D)(1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。

1.22C Cx y +=(其中C 为任意常数) 2.x x e C e C y 3221+=(其中21,C C 为任意常数)五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下,已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。

用微分方程表示物体,在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

12-2可分离变量的微分方程一、求下列微分方程的通解1.2202.(2)(x2)03.()()04.y'().(提示令)二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解π1.(1)0. 0=42.1.1sec 232-==+=πx y xdx dy y x三 、设f(x)⎰x0(u)(x)是可微函数,求f(x)四、求一曲线的方程,曲线通过点(0.1),且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。

五、船从初速v 0=6米/秒而开始运动,5秒后速度减至一半。

已知阻力与速度成正比,试求船速随时间变化的规律。

12-3 齐次方程一、求下列齐次方程的通解1 y x '0=x y2 ()x y xy 0二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解1.ax dy 22 2e 22(2)01=1三、求方程:(1)(1)的通解四、设有连结点O(0,0)和A (1,1)一段向上凸的曲线孤A O ⋂对于A O ⋂上任一点P (x ,y ),曲线孤与P O ⋂直线段OP -所围图形的面积为x 2,求曲线孤A O ⋂的方程。

12.4 一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解1y ' 2y '2x3y 'x x y x sin 1= 4.y e y x y dx dy 3+=二、求下列微分方程满足初始条件的特解1.y ' y40π==x 2.(21)y '24 y 00==x三、已知f(π),曲线积分b a ⎰[]dy x f dx xy x f x )()(sin +-与路径无关,求函数f(x).四、质量为M 0克的雨滴在下落过程中,由于不断蒸发,使雨滴的质量以每秒m 克的速率减少,且所受空气阻力和下落速度成正比,若开始下落时雨滴速度为零,试求雨滴下落的速度与时间的关系。

五、 求下列伯努利方程的通解1.y ′+x y x=12y 5 2. ′2012-4全微分方程一、求下列方程通解1.[(2)+3y][2(2)+3x]02.()03(2y)0二、利用观察法求出下列方程的积分因子,并求其通解1 202 y(2)0三、[()(x)y][f(x)2y]0为全微分方程,其中函数f(x)连续可微,f(0)=0,试求函数f(x),并求该方程的通解。

一、求下列各微分方程的通解1.y '' 2. y ''y '3y ''(y ')2=y ' 4. y ''(1)y '0二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解1.2y ''2y y20π==x y '10==x2. y ''y 'y 'y '0 y21==x y '21e x ==三、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2,以及f '(x)-0)()(21=-⎰dt t t f x x f x ,求f(x).四、一物体质量为m,以初速度从一斜面上滑下,若斜面的倾角为α,摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。

一、选择题1.下列方程中 为线性微分方程(A )(y ')y ' (B)y x y y =-'2(C) x e y xy x y =+'-''222 (D)y xy y y cos 3=-'-'' 2.已知函数y 1=221x x e +,y 1=221x x e -,y 3(2)1x 则 (A )仅y 1与y 2线性相关 (B )仅y 2与y 3线性相关(C )仅y 1与y 3线性相关 (D )它们两两线性相关3.若y 1和y 2是二阶齐次线性方程,y ''(x)y '+4(x)0两个特解,c 1c 2为任意常数,则1y 12y 2(A)一定是该方程的通解 (B )是该方程的特解(C )是该方程的解 (D )不一定是方程的解4.下列函数中哪组是线性无关的(A ), 2 (B)1, (C)x, 2x (D)x , 2二、证明:下列函数是微分方程的通解11x 22x 2(c 1 c 2是任意常数)是方程x 2y ''-3y '40的通解212e x e x +2(c 1c 2是任意常数)是方程2x e y y 2='+'''的通解三、设y 1(x)y 2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解,且y 1(x)y 2(x)3(x).线性无关, 证明:微分方程的通解为:)()1()()(3212211x y c c x y c x y c y --++=四、试求以1(1c x2)+2x e (c 12是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。

12-9 二阶常系数齐次线性微分方程一、选择题1以y 12为特解的方程是(A )0=-''y y (B)0=+''y y (C)0='+''y y (D)0='-''y y2.微分方程20=-'+''y y y 的通解是(A )x x e c e c y 221--=(B )221xx e c e c y -=-(C )221xx e c e c y --= (D)x x e c e c y 221+=-3.常微分方程0)(2121=+'++''y y y λλλλ,(其中21,λλ是不等的系数),在初始条件y 10=00='=x y 特解是(A )0 (B)x x e c ec 2121λλ+ (C)221x y λλ= (D )221)(x y λλ+= 4.x e y 2=是微分方程06=+'+''y y p y 的一个特解,则此方程的通解是(A )x x e c ec y 3221-+= (B )x e xc c y 221)(+= (C )x x e c ec y 3221+= (D ))3cos 3sin (212x c x c e y x += 5.x x e c e c y -+=21是微分方程 的通解(A )0=+''y y (B )0=-''y y (C )0='+''y y (D )0='-''y y 二、求下列微分方程的通解1.05='-''y y 2.044=+'-''y y y3.04=+'+''y y y 4.065=+'-''y y y5.01036=+'+''-'''y y y y 5. 02)4(=''+'''-y y y三、求下列微分方程满足初始条件的特解1.0102=+'+''y y y 10==x y201==x y2.032=-+x dt dx dt x d 00==t x 10='=t x四、一质量为m 的质点由静止(00)开始滑入液体,下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小成正比(比例系数为k ),求此质点的运动规律。

12-10 二阶常数非齐次线性微分方程一、选择题1微分方程,形式为的特解*2y x y y ='-''(A) (B) (C)2 (D)bx ax +2 2.微分方程形式为的特解*1y e y y x +=-'' (A )b ae x + (B )b axe x + (C )bx ae x + (D )bx axe x +3.微分方程x xe u y 22='-''的特解y *形式为(A )x e b ax x 2)(+ (B )x e b ax 2)(+ (C )x xe 2 (D )xe c bx ax 22)(++ 4.微分方程x y y 2cos 4=+''的特解y *形式为(A )2x (B)2x (C) x(22x) (D)22x5. 微分方程x x y y 2sin =-''的特解形式为y*=(A )()2x (B)()2()2x(C )()2()2x (D )()2()26. 微分方程x ey y y x 5sin 54+=-'-''-的特解形式为 (A )x b ae x 5sin +- (B)x c x b ae x 5sin 5cos ++-(C )x b axe x5sin +- (D )x c x b axe x 5sin 5cos ++- 二、求下列各方程的通解1.x xe y y y =+'+''2 2.x y y y sin 67=+'-''3.x e y y y x sin 52=+'-'' 4.x x y y cos +=+''三、求微分方程x y y cos 9=+''满足022='===ππx x y y 的特解四、已知二阶常系数微分方程)2(+=+'+''x y y y γβα有特解x x e y x 612*--+=,求γβα,,的值,并求该方程的通解五、k 为常数。

相关主题