1.（本题满分15分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形。

,,E F O 分别为,,PA PB PC 的中点，16,10AC PA PC ===。

（I ） 设C 是OC 的中点，证明：//PC 平面BOE ；（II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ,OB 的距离。

2.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP=m ， （Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面BDB 1D 1所成角的正切值为32；（Ⅱ）在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。

3. 如图甲，△ABC 是边长为6的等边三角形，E ，D 分别为AB 、AC 靠近B 、C 的三等分点，点G 为BC 边的中点．线段AG 交线段ED 于F 点，将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB 、AC 、AG 形成如图乙所示的几何体。

（I ）求证BC ⊥平面AFG ； （II ）求二面角B －AE －D 的余弦值．.x yz4在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．（1）求证：CM EM ⊥；（2）求CM 与平面CDE 所成的角5. 如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE CF ∥，90BCF CEF ∠=∠=o ，3AD =2EF =．（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60o？6. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE=EB=AF=.432=FD 沿直线EF 将AEF ∆翻折成,'EF A ∆使平面⊥EF A '平面BEF. （I ）求二面角C FD A --'的余弦值；（II ）点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C与'A 重合，求线段FM 的长.EM A CB D DA BEFC（第18题）7. 如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

8. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=26, M，N分别为PB,PD的中点。

（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。

9. 如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2AD =，22BD =M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =． （Ⅰ）证明：//PQ 平面BCD ；（Ⅱ）若二面角C BM D --的大小为60︒，求BDC ∠的大小．10. 如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，o 60BAD ∠=，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：//BC EF ；（2）求三棱锥B DEF -的体积．（第16题图）FACDE B11. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=． （1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值．12(本小题14分)在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12AD BC =，60ABC ∠=o ，N 是BC的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90o ，得到梯形ABC D ''（如图）．（1）求证：AC ⊥平面ABC '； （2）求证：//C N '平面ADD '； （3）求二面角A C N C '--的余弦值．13. （本题满分14分） 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A =PD =2，BC =12AD =1，CD． （I ）求证：平面PQB ⊥平面P AD ； （II ）若二面角M -BQ -C 为30°，设PM =tMC ， 试确定t 的值（第22题图）ABC A 1B 1C 1AC D B ND ' C 'PABC D QM14．如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，BCD∠= 90°, BC = CD = 2,AD= BD：EC丄底面A B C D,F D丄底面A B C D且有E C=F D=2.(I)求证：AD丄B F :(II )若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角B-MF-C的余弦值.1.证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，则()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),O A B C-(0,0,6),(0,4,3),P E-()4,0,3F，由题意得，()0,4,0,G因(8,0,0),(0,4,3)OB OE==-u u u r u u u r，因此平面BOE的法向量为(0,3,4)n=r，(4,4,3FG=--u u u r得0n FG⋅=r u u u r，又直线FG不在平面BOE内，因此有//FG平面BOE（II）设点M的坐标为()00,,0x y，则00(4,,3)FM x y=--u u u u r，因为FM⊥平面BOE，所以有//FM nu u u u r r，因此有0094,4x y==-，即点M的坐标为94,,04⎛⎫-⎪⎝⎭，在平面直角坐标系xoy中，AOB∆的内部区域满足不等式组08xyx y>⎧⎪<⎨⎪-<⎩，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在ABO∆内存在一点M，使FM⊥平面BOE，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为94,4．xyz2. 解法１：（１）,,AC AC BD O =I 连设1.AP B G OG 1与面BDD 交于点，连1111//,,PC BDD B BDD B APC OG =I 因为面面面故//OG PC 。

所以122mOG PC ==。

又111,,AO DB AO BB AO BDD B ⊥⊥⊥所以面　. 故11AGO AP BDD B ∠即为与面所成的角。

在Rt △22tan 322AOG AGO m ==中，，即13m =.故当13m =时，直线AP 11与平面BDD B 所成的角的正切值为３2。

（Ⅱ）依题意，要在11A C 上找一点Q ，使得1D Q AP ⊥. 可推测11A C 的中点1O 即为所求的Q 点。

因为1111.D O A C ⊥111D O AA ⊥，所以111.D Q ACC A ⊥面 又11.AP ACC A ⊂面,故11D O AP ⊥。

从而111D O AD P AP 在平面上的射影与垂直。

解法二：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0),B 1(1,1,1),D 1(0,0,1).所以1(1,1,0),(0,0,1),BD BB =--=u u u u r u u u r(1,1,),(1,1,0).AP m AC =-=-u u u r u u u r又由110,0AC BD AC BB AC D D ⋅=⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1知为平面BB 的一个法向量.设AP 与11BDD B 面　所成的角为θ，则2||sin cos()2||||22AP AC AP AC mπθθ⋅=-==⋅⋅+u u u r u u u ru u u r u u u r2232221(32)m =⋅++13m =. 故当13m =时，直线AP 11与平面BDD B 所成的角的正切值为３2 （２）若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则1(,1,1),(,1,0)Q x x DQ x x -=-u u u u r。

依题意，对任意的m 要使D1Q 在平面APD1上的射影垂直于AP 。

等价于11AP 10(1)02D Q AP D Q x x x ⊥⇔⋅=⇔+-=⇔=u u u u r u u u r u u u u r即Q 为11A C 的中点时，满足题设的要求.3. (Ⅰ) 在图甲中，由△ABC 是等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 的三等分点，点G 为BC 边的中点，易知DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，DE //BC ．……………………………… 2分 在图乙中，因为DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，AF I FG =F ，所以DE ⊥平面AFG ． 又DE //BC ，所以BC ⊥平面AFG ．…………………………………………………… 4分 (Ⅱ) 因为平面AED ⊥平面BCDE ，平面AED I 平面BCDE =DE ，DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，所以F A ，FD ，FG 两两垂直．以点F 为坐标原点，分别以FG ，FD ，F A 所在的直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz F -．则)32,0,0(A ，)0,3,3(-B ，)0,2,0(-E ，所以)32,3,3(--=AB ，,1,3(-=BE 0)．…………………………………… 6分设平面ABE 的一个法向量为),,(z y x =．则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AB n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--0303233y x z y x ，取1=x ，则3=y ，1-=z ，则)1,3,1(-=．……………………………… 8分显然)0,0,1(=为平面ADE 的一个法向量， 所以55,cos =<n m ．………………………………………………10分 二面角D AE B --为钝角，所以二面角D AE B --的余弦值为55-．………12分 4. 方法一：（1）证明：因为AC=BC ，M 是AB 的中点，所以CM⊥AB．又EA ⊥平面ABC ，所以CM⊥EM．（2）解：过点M 作MH⊥平面CDE ，垂足是H ，连结CH 并延长交ED 于点F ，连结MF 、MD ，∠FCM 是直线CM和平面CDE 所成的角．因为MH⊥平面CDE ，所以MH⊥ED， 又因为CM⊥平面EDM ，所以CM⊥ED， 则ED⊥平面CMF ，因此ED⊥MF．设EA ＝a ，BD ＝BC ＝AC ＝2a ，在直角梯形ABDE 中，AB ＝22a ，M 是AB 的中点， 所以DE ＝3a ，EM ＝3a ，MD ＝6 a ， 得△EMD 是直角三角形，其中∠EMD＝90° 所以MF ＝2EM MDa DE⋅=．在Rt△CMF 中，tan∠FCM =MFMC=1，所以∠FCM=45°， 故CM 与平面CDE 所成的角是45°．方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别作为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系C-xyz ，设EA=a ，则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），C （2 a ，0，a ），A （0，2 a ，2 a ）， A （a ，a ，0）. （1）证明：因为EM uu u r =（-a ，a ，-a ），CM u u r=（a ，a ，0）， 所以EM uu u r ·CM u u r=0，故EM CM ⊥.（2）解：设向量n=（1，o y ，0x ）与平面CDE 垂直， 则n CE ⊥u u r，n CD ⊥u u r，即·nCE u u r =0，·n CD u u r=0.因为E C u u r =（2a,0,a ）, CD u u r=(0,2a,2a),所以y 0=2，z 0=-2， 即n=（1，2，-2），2cos ,CM n n CM M n<>==u u ru u rg u rg ， 直线CM 与平面CDE 所称的角是45°. 5. 方法一：（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ，D A B EFCHG可得四边形BCGE 为矩形， 又ABCD 为矩形，所以AD EG∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得 AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．在Rt EFG △中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠=o，1FG =．又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==．于是sin 2BH BE BEH =∠=g ．因为tan AB BH AHB =∠g ，所以当AB 为92时，二面角A EF C --的大小为60o．方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 设AB a BE b CF c ===，，，则(000)C ，，，)A a ，，0)B ，，0)E b ，，(00)F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =-u u u r ，，，0)CB =u u u r ，，(00)BE b =u u u r，，， 所以0CB CE =u u u r u u u r g，0CB BE =u u u r u u u rg ，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ．因为CB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF ．（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =-u u u r ，，0)CE b =u u u r ，， 所以0EF CE =u u u r u u u r g，||2EF =u u u r，从而3()02b c b -+-=⎧=，，解得34b c ==，．所以(30)E ，，，(040)F ，，．设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直，则0n AE =u u u r g ，0n EF =u u u rg ，解得33(13)n =，，． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =u u u r ，，， 所以2||331|cos |2||||427BA n a n BA BA n a a <>===+u u u ru u u r g u u u r g ，， 得到92a =． 所以当AB 为92时，二面角A EF C --的大小为60o．6. 方法一：（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ，连结A H ' 因为A E A F ''=及H 是EF 的中点， 所以A H EF '⊥又因为平面A EF '⊥平面BEF ，及A H '⊂平面.A EF ' 所以A H '⊥平面BEF 。