第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（ 1）方程形式：dyP x Q y Q y0通解dyP x dx C dx Q y（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0通解M 1xdx N 2ydy C M 2 x 0, N 1 y 0M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式dyf y（ 1）齐次方程xdx令yu ，则dyu xduf ufdu dx c ln | x | c x dx dx u u x二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程dyP x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx2．一阶线性非齐次方程精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性dx非齐次方程求解。

dy1可化为dxP y x Q y y x以为自变量，．方程：P y x dydx Q y为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。

三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n ynff x dx C1 x n 1xn次令 y p ，则 y p ，原方程y f x, yf x, p ——一阶方程，设其解为pg x, C1p，即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。

令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dpdx dy dx dy y f把 y， y 的表达式代入原方程，得dp1f y, p—一阶方程，y, y dy pdy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C1, 即dyg y, C1，则原方程的通解为dx令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C3．伯努利方程dyQ x y0,1P x ydxdyx C2。

g y, C1.四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程y p x y q x y0（ 1）二阶非齐次线性方程y p x y q x y f x（ 2）1．若y1x， y2x 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合C1 y1x C 2 y2x （ C1， C2为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当y1 x y2x（为常数），也即 y1 x与 y2x线性无关时，则方程的通解为 y C1 y1 x C 2 y2 x2．若y1x，y2x为二阶非齐次线性方程的两个特解，则y1 x y2 x 为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

3．若y x为二阶非齐次线性方程的一个特解，而 y x为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则y x y x 为此二阶非齐次线性方程的一个特解。

4．若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而 C1 y1 x C 2 y2 x 为对应的二阶齐次线性方程的通解（C1， C 2为独立的任意常数）则y y x C1 y1x C 2 y2x 是此二阶非齐次线性方程的通解。

5．设y1x与y2x 分别是 y p x y q x y f1x与y p x y q x y f 2x 的特解，则 y1x y2 x是y p x y q x y f 1x f 2 x 的特解。

精品文档五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1．二阶常系数齐次线性方程y py qy0其中 p， q 为常数，特征方程2p q 0特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（ 1）特征方程有两个不同的实根 1，2 则方程的通解为y C1e 1x C 2e 2x （ 2）特征方程有二重根12则方程的通解为y C1 C 2 x e 1x（ 3）特征方程有共轭复根i ，则方程的通解为y e x C1 cos x C 2 sin x 2．n阶常系数齐次线性方程y n p1 y n1p2 y n 2p n 1 y p n y0其中 p i i1,2,, n 为常数。

相应的特征方程np1n 1n2p n p n0p21特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。

（ 1）若特征方程有n 个不同的实根1, 2,,n 则方程通解y C1e 1x C 2 e 2x C n e n x（ 2）若0 为特征方程的k 重实根k n 则方程通解中含有y= C1 C 2 x C k x k 1 e 0x（ 3）若i为特征方程的 k 重共轭复根2k n，则方程通解中含有e x C1 C 2 x C k x k 1cos x D1 D 2 x D k x k 1sin x由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。

.六、二阶常系数非齐次线性方程方程： y py qyf x 其中 p, q 为常数通解： yy C 1 y 1 xC 2 y 2 x其中 C 1 y 1 x C 2 y 2 x 为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。

所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y 如何求？1． f x P n x e x 其中 P n x 为 n 次多项式，为实常数，（ 1）若 不是特征根，则令yR n x e x（ 2）若是特征方程单根，则令yxR x e xn（ 3）若 是特征方程的重根，则令yx 2 R n x e x2． f xP n x e x sinx 或 f x P n x e x cos x其中 P n x 为 n 次多项式， , 皆为实常数（ 1）若 i 不是特征根，则令 y e x R n x cos x T n x sin x （ 2）若i 是特征根，则令 yxe xR n x cosx T n x sinx例题：一、齐次方程x 2 dyxydy的通解 2.xxxdy1.求 y 21 e y dx e y 1dxdxy二、一阶线形微分方程1. ydx( y x)dy0, y(0)1. 2.求微分方程dyx y 的通解dxy 4精品文档三、伯努力方程 xy ' yx 3 y 6四、可降阶的高价微分方程1.求 (1 x) y y ln( x 1) 的通解2. 2 y' ' ( y' )2y ， y(0) 2, y' (0)1五、二阶常系数齐次线形微分方程1. y (5)y (4 )2 y' ' ' 2 y' ' y' y 02. y (4) 5y' ' 10 y' 6 y 0 ， y(0) 1, y' (0)0, y'' (0) 6, y' ' ' (0)14六、二阶常系数非齐次线形微分方程1.求 y2 y 3y2e x 的通解2.求方程 yy2y2cos2x 的通解3. y' ' y x 3sin 2 x 2 cos x七、作变量代换后求方程的解1.求微分方程 ( yx) 1 x2dy (1 3y 2 ) 2 的通解dx2. x( y1) sin( x y)0， y( ) 023. 1 x 2y' sin 2 y 2x sin 2y2 1 x 2e4. xy' ln x sin y cos y(1x cos y)八、综合题x( xt) f (t) dt ，其中 f （ x ）连续，求 f （ x ）1.设 f （ x ）＝ x sin x －2.已知 y 1xe x e 2 x ， y 2xe x e x ， y 3 xe xe 2 xe x 是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.3.设 F (x)f (x)g ( x), 其中 f ( x)， g(x)在 ( , ) 内满足以下条件.f (x) g( x),g ( x) f ( x),且 f (0) 0, f ( x) g( x)2e x（ 1）求F ( x)所满足的一阶和二阶微分方程（2）求出F (x)的表达式4.设函数 y＝ y（ x）在,内具有二阶导数，且y0, x x y是 y＝ y（ x）d 2 x dx 3的反函数 .（1）试将 x＝x（ y）所满足的微分方程y sin x0 变换dy 2dy为 y＝ y（x）满足的微分方程；（ 2）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）＝ 0，y 03的解 . 25.设(x) 是以2为周期的连续函数，(x)(x),(0)0, (2)0（ 1）求微分方程dyysinx(x)e cosx的通解dx以上这些解中，有没有以 2 为周期的解？若有，求出，若无，说明理由6.已知曲线 y＝ f(x) （ x>0）是微分方程2y//+y/ -y=(4-6x)e -x的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为0，试求：（ 1）曲线 y＝ f(x) 到 x 轴的最大距离。

（ 2）计算 f ( x)dx九、微分方程的几何和物理应用1.设函数y(x)( x 0)二阶可导，且 f ( x)0, y(0) 1, 过曲线 y y(x) 上任意一点 P( x, y) 作该曲线的切线及x 轴的垂线，上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为 S , 区间 0, x上以y y( x)为曲边的曲边梯形面积记为S ，并设 2S S1212恒为 1，求此曲线y y( x)的方程。

2.设曲线L的极坐标方程为r r () ， M (r ,) 为L任一点， M 0 (2,0) 为L上一定精品文档点，若极径 OM 0，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L 上M0 M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程。

3.有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线，P(x,y) 为曲线上的任一点。

设曲线在原点与P 点之间的弧长为S1，曲线在 P 点处的切线在P 点与切线跟 y 轴的交点之间的长度为S2，且3S12=2( x 1)，求该曲线的方程。

S2x4.设函数 f（ x）在1,上连续，若曲线 y＝f （ x），直线 x＝ 1，x＝ t（ t>1 ）与 x轴围成平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V （ t）＝t 2 f t f 1 ，试3求 y＝ f（ x）所满足的微分方程，并求y x 22的解.95.一个半球体状的雪球，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K0 ，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆开始融化的 3 小时内，融化了其体积的7，问雪堆全部融化需要多少小时。