第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。

( )2.y=(y '')3是二阶微分方程。

( )3.微分方程的通解包含了所有特解。

( )4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。

（ ）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。

（ ）二、填空题1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。

2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。

3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足yx=0=0, y 'x=0=1的曲线是 。

三、选择题1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2(B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ∂∂+22y a ∂∂=0 （D ）、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程22dxy d +w 2y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx4. C 是任意常数，则微分方程y '=323y 的一个特解是（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。

1．22C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。

用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

12-2可分离变量的微分方程一、求下列微分方程的通解1．sec2.tacydx+sec2ytanxdy=02．(x+xy2)dx-(x2y+y)dy=03．(e x+y-e x)dx+(e x+y-e y)dy=04．y'=cos(x-y).(提示令.x-y=z)二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解π1．cosydx+(1+e-x)sinydy=0. y x=0=42.1.1sec 232-==+=πx y xdx dy y x三 、设f(x)=x+⎰x0f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。

五、船从初速v 0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。

已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。

12-3 齐次方程一、求下列齐次方程的通解1 y x '-xsin 0=x y2 (x+ycos )x y dx-xcos xy dy=0二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解1．xy ax dy =x 2+y 2 y x=e =2e 2.x 2dy+(xy-y 2)dx=0y x=1=1三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy 的通解四、设有连结点O(0，0)和A （1，1）一段向上凸的曲线孤A O ⋂对于A O ⋂上任一点P （x ，y ）,曲线孤与P O ⋂直线段OP -所围图形的面积为x 2，求曲线孤A O ⋂的方程。

12.4 一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解1.x y '+y=xe x2.y '+ytanx=sin2x3.y '+x x y x sin 1= 4.y e y x y dx dy 3+=二、求下列微分方程满足初始条件的特解1．y 'cosy+siny =x y40π==x 2.(2x+1)e y y '2e y =4 y 00==x三、已知f(π),曲线积分b a ⎰[]dy x f dx xy x f x )()(sin +-与路径无关，求函数f(x).四、质量为M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m 克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。

五、 求下列伯努利方程的通解1．y ′+x y x=12y 5 2. xy ′+y-y 2lnx=012-4全微分方程一、求下列方程通解1．[cos(x+y2)+3y]dx+[2ycos(x+y2)+3x]dy=02.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=03.e y dx+(xe y-2y)dy=0二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解1 ydx-xdy+y2xdx=02 y(2xy+e x)dx-e x dy=0三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0为全微分方程，其中函数f(x)连续可微，f(0)=0,试求函数f(x)，并求该方程的通解。

一、求下列各微分方程的通解1．y ''=xsinx 2. y ''-y '=x3.y y ''+(y ')2=y '4. y ''(1+e x )+y '=0二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解1．2y ''=sin2y y20π==x y '10==x2. x y ''-y 'ln y '+y 'lnx=0 y21==x y '21e x ==三、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2，以及f '(x)-0)()(21=-⎰dt t t f x x f x ,求f(x).四、一物体质量为m,以初速度V o 从一斜面上滑下，若斜面的倾角为α，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。

一、选择题1．下列方程中 为线性微分方程（A ）（y '）+x y '=x (B)y x y y =-'2(C) x e y xy x y =+'-''222 (D)y xy y y cos 3=-'-'' 2.已知函数y 1=221x x e +，y 1=221x x e -，y 3=e (x-2)1x 则 （A ）仅y 1与y 2线性相关 （B ）仅y 2与y 3线性相关（C ）仅y 1与y 3线性相关 （D ）它们两两线性相关3．若y 1和y 2是二阶齐次线性方程，y ''+p(x)y '+4(x)y=0两个特解，c 1c 2为任意常数，则y=c 1y 1+c 2y 2(A)一定是该方程的通解 （B ）是该方程的特解（C ）是该方程的解 （D ）不一定是方程的解4．下列函数中哪组是线性无关的（A ）lnx, lnx 2 (B)1， lnx (C)x, ln2x (D)ln x , lnx 2二、证明：下列函数是微分方程的通解1y=c 1x 2+c 2x 2lnx(c 1 c 2是任意常数)是方程x 2y ''-3x y '+4y=0的通解2y=c 1e -x +c 2e x e x +2(c 1c 2是任意常数)是方程2x e y y 2='+'''的通解三、设y 1(x)y 2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y 1(x)y 2(x).y 3(x).线性无关， 证明：微分方程的通解为：)()1()()(3212211x y c c x y c x y c y --++=四、试求以y=1(1c xe x +c 2e -x )+2x e (c 1,c 2是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。

12-9 二阶常系数齐次线性微分方程一、选择题1以y 1=cosx,y 2=sinx 为特解的方程是（A ）0=-''y y (B)0=+''y y (C)0='+''y y (D)0='-''y y2．微分方程20=-'+''y y y 的通解是（A ）x x e c e c y 221--=（B ）221xx e c e c y -=-（C ）221xx e c e c y --= (D)x x e c e c y 221+=-3．常微分方程0)(2121=+'++''y y y λλλλ，（其中21,λλ是不等的系数），在初始条件y 1x=0=00='=x y 特解是（A ）y=0 (B)y=x x e c ec 2121λλ+ (C)221x y λλ= （D ）221)(x y λλ+= 4．x e y 2=是微分方程06=+'+''y y p y 的一个特解，则此方程的通解是（A ）x x e c ec y 3221-+= （B ）x e xc c y 221)(+= （C ）x x e c ec y 3221+= （D ）)3cos 3sin (212x c x c e y x += 5．x x e c e c y -+=21是微分方程 的通解（A ）0=+''y y （B ）0=-''y y （C ）0='+''y y （D ）0='-''y y 二、求下列微分方程的通解1．05='-''y y 2．044=+'-''y y y3．04=+'+''y y y 4．065=+'-''y y y5．01036=+'+''-'''y y y y 5. 02)4(=''+'''-y y y三、求下列微分方程满足初始条件的特解1．0102=+'+''y y y 10==x y201==x y2．032=-+x dt dx dt x d 00==t x 10='=t x四、一质量为m 的质点由静止（t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小成正比（比例系数为k ），求此质点的运动规律。