32

进一步，求得各非基变量的检验数：
13 =c13-u1-v3=9-0-16=-7
14 =c14-u1-v4=6-0-18=-12 21 =c21-u2-v1=7-(-9)-9=7 24 =c24-u2-v4=7-(-9)-18=-2 31 =c31-u3-v1=6-(-7)-9=4
12
约束方程共有m+n个，由于∑si=∑dj，
因此约束方程只有m+n-1个方程是线性 独立的。因此运输问题的基本可行解 有m+n-1个分量。
13
引例——方程组中方程的线性独立问题： x1+x2+x3=3 2x1+x2+x4=6 3x1+2x2+x3+x4=9 系数的增广矩阵为： 1 1 1 0 3 1 1 1 0 3 2 1 0 1 6 → 2 1 0 1 6 3 2 1 4 9 0 0 0 0 0
40
检验数的含义
1 1 2 2 3 4
-7
供应量
-12
9
40
12
10
9 7
30
6 7

-2
30
50 60
7
6
7
3
5
0

4
3 需求量
9
30
11
20
50
40
40
60
20
41
21=(7+12)-(3+9) =7
13=(9+3)-(12+7) =-7
闭回路调整
对存在负检验数的方案必须进行调整，调整方法如下： (1)选取调入空格。任何检验数为负数的空格都可作为调 入空格。如果有多个检验数为负的空格，一般选取绝对 值最大的格。 (2)选取调出实格。调出实格在调整后的新方案中将成为 空格。调出实格可选择这样的实格：在调入空格闭回路 的各个偶转角点中运量最小的格。如果有多个这样的实 格，任选其一。 (3)调整。设所选调出实格的运量为P(称为调整量)，则在 调入空格闭回路的各偶转角点的运量都减少P，各奇转 角点的运量都增加P，得到新方案。 (4)计算新方案检验数后判定是否为最优方案，若还不是， 42 重复上述步骤。
1
出 发 地
2
3
…
n
供应
1 2 m
c11 c21 … cm1
成本 cij
c1n s1 c2n s2 … … cmn sm
需求
d1
到达地
dn
∑
4
运输问题

引例：设某电视机厂有三个分厂，生产同 一种彩色电视机，供应该厂在市内的四个 门市部销售。已知三个分厂的日生产能力 分别是50，60，50台，四个门市部的日销 量分别为40，40，60，20台。从各个分厂 运往各门市部的运费如下表所示，试安排 一个运费最低的运输计划。

14
运输问题
产销不平衡的运输问题模型
产大于销时约束条件
产小于销时约束条件
x
i 1
m
ij
dj
（j= 1,2,…,n)
x
j 1
m
n
ij
si （i= 1,2,…,m)
d j （j= 1,2,…,n)
x
j 1
n
ij
si （i= 1,2,…,m)
x
i 1
ij
15
不平衡的运输问题
Min Z =
cij xij
i 1 j 1
n
n
n
（Cij≥0) （i= 1,2,„,m) (j= 1,2,„,n) 供应约束 需求约束
x
j 1
ij
si
xij d j
i 1
m
xij≥0，i=1,1,…,m; j=1,2,…,n 由 cij、si、dj 组成的 （m+1)×(n+1) 矩阵称为运输矩阵
2 12
10
3 9 7
30 30
4 6 7
供应量 50 10 60
20
产 地
2 3
7
3
30 20
6 40
5 40
30
9
30
11 20
30
50
需求量
60
19 x11,x12,x22,x23,x33,x346个变量构成一个基本初始可行解。

西北解法的特点
优点：简单易行，容易得到基本初始可行解；
缺点：没有考虑运费的因素，因此距离最优解
3 5 6

伏格尔法同最小元素法除在确定供求关系 的原则上不同外，其余步骤相同。伏格尔 法给出的初始解比最小元素法给出的初始 解更接近最优解。
最优解检验
(二)最优解检验
依旧是根据检验数ij的值来判断其是否
为最优解。方法有两种：
位势法
闭回路法
30

位势法：假设每一行都有一个位势，记为ui,每一列 有一个位势，记为vj，它们有如下关系： 如果xij是基变量，则有
2
d2=40
d3=60
需 求 量
3
4
d4=20
7
运输问题线性规划模型
设xij为由第i个工厂运到第j个门市部的
电视机台数，cij为由第i个工厂运到第j 个门市部的运费，则原运输问题的线 性规划模型为：
8
Min Z= 9x11 +12x12 +9x13 +6x14 +7x21 +3x22 +7x23 +7x24 +6x31 +5x32 +9x33 +11x34 x11 +x12 +x13 +x14 x21 s.t. x11 x12 x13 x14 +x21 +x22 +x23 +x24 +x22 +x23 +x24 x31 + x31 +x32 +x33 +x34 +x32 +x33 +x34 =50 =60 =50 =40 =40 =60 =20
32 =c32-u3-v2=5-(-7)-12=0

具体计算过程在表中进行
33
位势及检验数的计算
1 1 9
40
2 12
10
3 9 7
30 30
4
-7
ui
-12
6 7
0 -9
2
3 vj
7
7
3
-2
6
4
5
0
9
30
11
20
-7
9 12 16 18 注：格子中，带数字为基本可行解，不带数字 为检验数
5
单位：元/台 门市部
工厂
1 2 3 需求量总计
1
9 7 6 40
2
12 3 5 40
3
9 7 9 60
4
6 7 11 20
供应量总计
50 60 50 160
6
运输问题网络图
供应地
s1=50
9 12 9
运价
需求地
1 d1=40
1
供 应 量
s2=60 s3=50
2
3
6 7 3 7 7 6 5 9 11
个初始基本可行解。
21
前例中： 最小元素法求初始解 1 1 2 3 dj 9 7 12 3
40
初始可行解的获得
2 9
30
3 6
4
20
si 50 30 0 60 20 0 50 10 0
7
20
7
6
40
5
40
0
9
10
11
60
40 10 0
40
0
20
0
22

伏格尔法
思路：一产地的产品假如不能按最小运费就近
供 应 地 约 束 需 求 地 约 束
xij ≥0
i= 1,2,3; j=1,2, 3,4
m×n个变量，m+n个条件
9
cij
运输问题的表格表示
1 1 2 9 X11 7 X21 3 X22 2 12 X12 7 X23 3 9 X13 7 X24 4 6 X14 60 50
xij
供应量
3
6
X31
5
35

闭回路的性质：
m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它不 含闭回路 2. 在m+n-1个基变量(实格，也称为基格)中加入 任何一个非基变量，则加入空格后的m+n个 格子必含有惟一的闭回路
1.
36


在闭回路中，转向之处称为顶点。从空格算起第奇 数转向的称为奇数顶点，第偶数次转向的称为偶数 顶点。 定义空格所对应的非基变量xij的检验数为：
基本可行解的第一个分量
如果第一个工厂的生产量大于第一个销售点的需求，
那么就由第一个工厂全部满足第一个销售点的需要， 工厂商品的剩余部分运八第二个销售点；
如果第一个工厂的生产量小于第一个销售点的需求量，
则先将第一个工厂的全部产品运往第一个销售点，不 足的需求由第二个补足。
18
销地
1 1 9
40
ij=奇数顶点的运价之和-偶数顶点的运价之和
ij ckl ck l
O E
表示对“奇数顶点”上的元素取和， 其中 O E 表示对“偶数顶点”上的元素取和。

现在用前例的初始方案表作为例子加以说明。
37
利用闭回路法求检验数
6+3+9-12-7-11=-12 1 1 9