用线性规划方法求解运输问题线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.运输问题的提出及其数学模型：现在人们生产活动中，不可避免的要进行物资调运工作，如某时期内将生产基地的蔬菜，粮食等各类物资，分别运到需要这些物资的地区。

如何根据各地的生产量和需求量及各地之间的运输费用，如何制定一个运输方案，使总的运输量费用最小，这类的问题称为运输问题。

假设有m 个产地，记为A 1、A 2….A m ,生产某种物资，可供应的产量分别为a 1,a 2….a m ,有n 个销地，记为B 1、B 2…B n ,其需求量分别为b 1、b 2…b n ,假设在供需平衡的情况下，即∑=m i ai 1=∑=nj bj 1，从第i 个产地到j 个销地的单位物资的运费为c ij ，在满足各地需求的前提下，求运费最小的方案。

设x ij （i=1、2…m,j=1、2…n ）为第i 个产地到第j 个销地的运量，则运输问题的数学模型为Min Z = ∑=m i 1∑=n j cijxij 1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==∑∑==011xij bjxij aixij mi n j i=1,2…m,j=1,2…n;当目标是利益时，目标式改为最大值，在供需平衡条件下，有m+n 个等式约束，有mn 个变量，约束条件的系数矩阵A 有m+n 行mn 列，目标函数由运价矩阵Cm*n 与变量矩阵Xm*n 对应元素相乘求和构成。

用Lingo 求解：某市有三个蔬菜收购站：A 1、A 2、A 3，蔬菜在集散地的收购量分别为200吨，170吨，160吨；另知有八家菜市场(s 1,s 2,s 3,s 5,s 6,s 7,s 8)需要从这三个菜市场进购蔬菜，他们的需求量分别是75吨，60吨，80吨，70吨，100吨，55吨，90吨，80吨。

并且已知若菜市场缺一单位的蔬菜的损失为10元，8元，5元，10元，10元，8元，5元，8元，问题是如何利用现有库存资源满足这八家菜市场的需求，并使总运输成本和损失最低最低。

从收购站向八个菜市场送货的运输成本价(元／吨)如下表所示该运输问题的目标就是总运费最小化。

令X ij表示从仓库A i到超市S j运送的商品吨数。

从而有运输问题的数学模型：目标函数：MIN=4* X11+8* X12+…+11* X33+10* X38 -10*(75- X11 - X21 - X31) -…. -8*(80- X18 - X28 - X38)库存约束：ΣX1j<=200；ΣX2j<=170；ΣX3j<=160；j=1，2，3，4, (8)需求约束：ΣX il=75；ΣX i2=60；ΣX i3=80；ΣX i4=70；ΣX i5=100；ΣX i6=55；ΣX i7=90；ΣX i8=80；i=l，2，3非负约束：x ij>=0模型的lingo语言描述如下MODEL:SETS:jsd/1..3/:a;!三个集散地,收购量a(i);csc/1..8/:b;!八个菜市场，每天需求量b(j);dqss/1..8/:d;!各菜市场的单位短缺损失d(j);j_c(jsd,csc):x,c,l;!i到j的距离矩阵为l(i,j),单位运费c(i,j),决策变量为x(i,j); ENDSETSDATA:a=200,170,160;b=75,60,80,70,100,55,90,80;d=10,8,5,10,10,8,5,8;l=4,8,8,19,11,6,22,26,14,7,7,16,12,16,23,17,20,19,11,14,6,15,5,10;c=1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;ENDDATA@for(jsd(i):[st1]@sum(csc(j):x(i,j))=a(i));!收购量限制;@for(csc(j):[st2]@sum(jsd(i):x(i,j))<=b(j));!需求量限制;[obj]min=@sum(jsd(i):@sum(csc(j):c(i,j)*x(i,j)*l(i,j)))+@sum(jsd(i):@sum(csc(j):d(j)*(b(j)-x(i,j))));END模型求解的结果如下Global optimal solution found.Objective value: 14330.00Total solver iterations: 11Variable Value Reduced Cost A( 1) 200.0000 0.000000 A( 2) 170.0000 0.000000 A( 3) 160.0000 0.000000 B( 1) 75.00000 0.000000 B( 2) 60.00000 0.000000 B( 3) 80.00000 0.000000 B( 4) 70.00000 0.000000 B( 5) 100.0000 0.000000 B( 6) 55.00000 0.000000 B( 7) 90.00000 0.000000 B( 8) 80.00000 0.000000 D( 1) 10.00000 0.000000 D( 2) 8.000000 0.000000 D( 3) 5.000000 0.000000 D( 4) 10.00000 0.000000D( 6) 8.000000 0.000000 D( 7) 5.000000 0.000000 D( 8) 8.000000 0.000000 X( 1, 1) 75.00000 0.000000 X( 1, 2) 0.000000 0.000000 X( 1, 3) 0.000000 0.000000 X( 1, 4) 0.000000 2.000000 X( 1, 5) 70.00000 0.000000 X( 1, 6) 55.00000 0.000000 X( 1, 7) 0.000000 12.00000 X( 1, 8) 0.000000 11.00000 X( 2, 1) 0.000000 11.00000 X( 2, 2) 60.00000 0.000000 X( 2, 3) 80.00000 0.000000 X( 2, 4) 30.00000 0.000000 X( 2, 5) 0.000000 2.000000 X( 2, 6) 0.000000 11.00000 X( 2, 7) 0.000000 14.00000 X( 2, 8) 0.000000 3.000000 X( 3, 1) 0.000000 21.00000 X( 3, 2) 0.000000 16.00000 X( 3, 3) 0.000000 8.000000 X( 3, 4) 0.000000 2.000000 X( 3, 5) 30.00000 0.000000 X( 3, 6) 0.000000 14.00000 X( 3, 7) 90.00000 0.000000 X( 3, 8) 40.00000 0.000000 C( 1, 1) 1.000000 0.000000 C( 1, 2) 1.000000 0.000000 C( 1, 3) 1.000000 0.000000 C( 1, 4) 1.000000 0.000000 C( 1, 5) 1.000000 0.000000 C( 1, 6) 1.000000 0.000000 C( 1, 7) 1.000000 0.000000 C( 1, 8) 1.000000 0.000000 C( 2, 1) 1.000000 0.000000 C( 2, 2) 1.000000 0.000000 C( 2, 3) 1.000000 0.000000 C( 2, 4) 1.000000 0.000000 C( 2, 5) 1.000000 0.000000 C( 2, 6) 1.000000 0.000000 C( 2, 7) 1.000000 0.000000 C( 2, 8) 1.000000 0.000000C( 3, 2) 1.000000 0.000000 C( 3, 3) 1.000000 0.000000 C( 3, 4) 1.000000 0.000000 C( 3, 5) 1.000000 0.000000 C( 3, 6) 1.000000 0.000000 C( 3, 7) 1.000000 0.000000 C( 3, 8) 1.000000 0.000000 L( 1, 1) 4.000000 0.000000 L( 1, 2) 8.000000 0.000000 L( 1, 3) 8.000000 0.000000 L( 1, 4) 19.00000 0.000000 L( 1, 5) 11.00000 0.000000 L( 1, 6) 6.000000 0.000000 L( 1, 7) 22.00000 0.000000 L( 1, 8) 26.00000 0.000000 L( 2, 1) 14.00000 0.000000 L( 2, 2) 7.000000 0.000000 L( 2, 3) 7.000000 0.000000 L( 2, 4) 16.00000 0.000000 L( 2, 5) 12.00000 0.000000 L( 2, 6) 16.00000 0.000000 L( 2, 7) 23.00000 0.000000 L( 2, 8) 17.00000 0.000000 L( 3, 1) 20.00000 0.000000 L( 3, 2) 19.00000 0.000000 L( 3, 3) 11.00000 0.000000 L( 3, 4) 14.00000 0.000000 L( 3, 5) 6.000000 0.000000 L( 3, 6) 15.00000 0.000000 L( 3, 7) 5.000000 0.000000 L( 3, 8) 10.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price ST1( 1) 0.000000 -7.000000 ST1( 2) 0.000000 -6.000000 ST1( 3) 0.000000 -2.000000 ST2( 1) 0.000000 13.00000 ST2( 2) 0.000000 7.000000 ST2( 3) 0.000000 4.000000 ST2( 4) 40.00000 0.000000 ST2( 5) 0.000000 6.000000 ST2( 6) 0.000000 9.000000 ST2( 7) 0.000000 2.000000OBJ 14330.00 -1.000000 该结果显示最低运费为14330元，最优运输方案是：收购站A1向菜市场S1供货75吨，收购站A1向菜市场S5供货70吨，收购站A1向菜市场S6供货55吨，收购站A2向菜市场S2供货60吨，收购站A2向菜市场S3供货80吨，收购站A2向菜市场S4供货30吨，收购站A3向菜市场S5供货30吨，收购站A3向菜市场S7供货90吨，收购站A3向菜市场S8供货40吨，。