1全国大学生数学建模竞赛竞赛题目汇编(1992-2000)[注]相关优秀论文已经汇编成册正式出版：全国大学生数学建模竞赛组委会编，《全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编（1992-2000）》，北京：中国物价出版社，2002 年3 月出版。

1992 年赛题A 题施肥效果分析某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。

某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表格所示，其中ha 表示公顷，t 表示吨，kg表示公斤。

当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N 的施肥量做实验时，P 与K 的施肥量分别取为196kg/ha 与372kg/ha。

试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价。

土豆：N P K施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)346710113520225933640447115.1821.3632.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 024 49 73 98 147 196 245 294 342 33.46 32.4736.0637.96 41.0440.0941.2642.17 40.36 42.73 047 93 140 186 279 372 465 558 651 18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.7343.8742.7746.22生菜：N P K 施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)28568411216822428033639211.0212.7014.5616.2717.7522.5921.6319.3416.1214.1149981471962943915876856.399.4812.4614.3817.1021.9422.6421.3422.0724.53479314018627937246555865115.7516.7616.8916.2417.5619.2017.9715.8420.1119.40（北京理工大学叶其孝提供）B 题实验数据分解组成生命蛋白质的若干种氨基酸可以形成不同的组合。

通过质谱实验测定分子量来分析某个生命蛋白质分子的组成时，遇到的首要问题就是如何将它的分子量X 分解为几个氨基酸的已知分子量a[i]（i =1,2,…,n)之和。

某实验室所研究的问题中：n = 18,a [1: 18] = 57,71,87,97,99,101,103,113, 114,115,128,129,131,137,147,156,163,186.x 为正整数≤1000。

要求针对该实验室拥有或不拥有微型计算机的情况，对上述问题提出你们的解答，并就你所研讨的数学模型与方法在一般情形下进行讨论。

（华东理工大学俞文ci、复旦大学谭永基提供）注1992 年优秀论文及评阅人文章没有正式发表。

2全国大学生数学建模竞赛1993 年赛题A 题非线性交调的频率设计如果一非线性器件的输入u(t)与输出y(t)的关系是y(t) = u(t) + u2(t)（其中t 是时间），那么当输入是包含频率f1、f2 的信号u(t) = cos2πf1t + cos2πf2 t时，输出y(t)中将不仅包含输入信号f1、f2，而且还会出现2f1、f1 ± f2等新的频率成分，这些新的频率称为交调。

如果交调出现在原有频率f1、f2的附近，就会形成噪声干扰，因此工程设计中对交调的出现有一定的要求。

现有—SCS（非线性）系统，其输入输出关系由如下一组数据给出：输入u 0 5 10 20 30 40 50 60 80输出y 0 2.25 6.80 20.15 35.70 56.40 75.10 87.85 98.50输入信号为u(t) = A cos f t + A cos f t + A cos f t 1 1 2 2 3 3 2π2π2π，其中A1 = 25，A2 = 10，A3 = 45是输入信号的振幅。

对输入信号频率f1、f2、f3 的设计要求为：1）36 ≤ f1 ≤ 40,41 ≤ f2 ≤ 50,46 ≤ f3 ≤ 55。

2）输出中的交调均不得出现在f i ±5 的范围内( i=1,2,3),此范围称为f i 的接收带（参看下图）。

3）定义输出中的信噪比SNRBCin= 10 1022 log （单位：分贝），其中B i 是输出中对应于频率为f i的信号的振幅，C n是某一频率为f n的交调的振幅。

若f n出现在f n = f i ± 6处(i = 1,2,3),则对应的SNR 应大于10 分贝（参看下图）。

B i (信号振幅）C n (交调振幅)f n = f i -6 f i -5 f i f i +5 f i +6接收带4）f i 不得出现在f j 的接收带内( i, j = 1,2,3,i ≠j )。

5）为简单起见，f i只取整数值，且交调只需考虑二阶类型（即{ f f },i, j , , i j ± = 12 3）和三阶类型（即{ f f f },i, j, k , , i j k ± ± = 12 3）。

试按上述要求设计输入信号频率f1 、f2 、f3 。

（北京大学谢衷洁提供）B 题足球队排名次下表给出了我国12 支足球队在1988 ~ 1989 年足球甲级队联赛中的成绩，要求1）设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法，并给出用该算法排名次的结果。

2）把算法推广到任意N 个队的情况。

3）讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出诸队的名次。

3T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12T1 X0:11:00:02:21:00:22:03:11:03:1 1:0 0:11:30:22:11:04:01:11:1 X XT2 X2:00:11:30:02:00:01:1 2:1 1:11:10:00:02:01:10:20:0 X XT3X4:20:02:1 3:0 1:01:40:13:11:02:30:12:0 X XT4X2:3 0:1 0:52:32:11:30:10:00:11:1 X XT5X0:1X X X X1:01:20:01:1T6X X X X X X X T7X1:02:00:02:13:01:03:13:02:23:1 2:0T8X1:22:01:11:00:13:1 0:0T9X3:01:00:01:0 1:0T10X1:0 2:0T11X1:!1:21:1T12X说明：1）12 支球队依次记作T1，T2， (12)2）符号X 表示两队未曾比赛。

3）数字表示两队比赛结果，如T3 行与T8 列交叉处的数字表示：T3 与T8 比赛了2 场；T3 与T8 的进球数之比为0:1 和3:1。

（清华大学蔡大用提供）注1993 年北京地区的优秀论文及评阅人文章发表在《数学的实践与认识》1994 年第2 期上。

4全国大学生数学建模竞赛1994 年赛题A 题逢山开路要在一山区修建公路，首先测得一地点的高程，数据见表1（平面区域0≤x≤5600, 0≤y≤4800，表中数据为坐标点的高程，单位：米）。

数据显示：在y = 3200 处有一东西走向的山峰；从坐标（2400，2400）到（4800，0）有一西北— 东南走向的山谷；在（2000，2800）附近有一山口湖，其最高水位略高于1350 米，雨季在山谷中形成一溪流。

经调查知，雨量最大时溪流水面宽度W 与（溪流最深处的）x 坐标的关系可近似表示为w xx( ) = ( ) /−+240023 4 5(2400 ≤x ≤ 4000)。

公路从山脚（0，800）处开始，经居民点（4000，2000）至矿区（2000，4000）。

已知路段工程成本及对路段坡度α（上升高程与水平距离之比）的限制如表2。

1）试给出一种线路设计方案，包括原理、方法及比较精确的线路位置（含桥梁、隧道），并估算该方案的总成本。

2）如果居民点改为3600 ≤x ≤ 4000, 2000 ≤y ≤ 2400的居民区，公路只须经过民区即可，那么你的方案有什么改变。

表一↑北4800 1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 1504400 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 2104000 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 3503600 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 5003200 1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 15502800 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 12002400 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 11002000 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 9501600 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 7501200 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550800 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 350400 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 3200 370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250Y/X 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600表二工程种类一般路段桥梁隧道工程成本（元/米）300 2000 1500（长度≤300 米）；3000（长度>300 米）对坡度α的限制α< 0.125 α= 0 α<0.100（西安电子科技大学何大可提供）B 题锁具装箱某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有 5 个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6} 6个数（单位略）中任取一数。