1(M P1
r1A× i (1+ y)i
N
+
r2 A× i
M +1 (1+ y)i
+
A× N (1+ y)N
)
（4）
M年到期的债权久期：
∑ D2
=
1 P
(
M 1
r1A× i (1+ y)i
+
P0 × M (1+ y)M
)
（5）
式中，P为债券现价，A为债券面值，P 为债券在第M.63
93.3
92.235
2007-9-15
4.34
4.65
4.92
92.44
91.405
2007-12-21
4.07
4.81
5.08
93
92.025
2008-10-9
3.38
3.42
3.15
98.3
99.167
2008-10-30
3.32
3.4
3.13
98.57
99.425
2008-11-27
3.25
望计算久期。
3、可转债的久期
可转债通过将债券和认股权证有机结合，使债券持有人依
法享有在一定期间内按约定价格（执行价格）认购公司股票的
权利，从而达到低成本融资或高价发股的目的。
图1 07～08年债券价格变化图
数据来源：Wind资讯
要计算可转债的久期，首先需要明确可转债的定价方法。 我们假设某可转债的发行条款为：可转券面值为A，票面利率 为 c ，发行人同时派发的M份认股权证，债券期限和期权到期
二、股票久期两种新型债券久期的计算方法
1、股票的久期
最原始的久期概念仅适用于债券，但是由于理论上久期
是所有的现金流期限的加权平均，所以我们可以尝试将久期运
用到股票上。首先假设股票为固定股利的永续年金，其久期为
DM = (1+ y) / y ， y 为股票的到期收益率。然后我们再假设股票的股 利以每年 g 的比例增长且永续。则股价 P = C0(1+ g) / (y − g) ， C0 为股票 当前支付的股利。于是股票久期为：
P 1 (1 + y)i P M +1 (1 + y)i (1 + y) N
P (1 + y) M
（7）
以上我们推导出了含选择权的久期计算公式，但是在式（7）
中，r 和r 是需要给与一定的预测的。如果可以得知它们的更为确 切的信0 息，2 或者投资者在投资时已经明确投资偏好，那么对于权
重α的选择也可以更为具体，否则可以通过给出可能的分布求其期
∑ − 1 P
dP dy
=
1( P
N 1
i
×
(1
cA + y)i
+1
+
N
×
(1
+
A y)
N
+1
)
=
DM 1+ y
= D*
（2）
定义修正久期为
，有时也将修正久期直接称为久
期。我们可以清楚地看到久期在测度债券对于利率变化敏感性
方面的重要作用，它相当于利率变化引起的债券价格变化占原
始价格百分比的一阶近似。
一、引言
债券市场是全球经济中重要的一个部分，而如何有效衡
量债券的风险是债券投资以及风险管理最为重要的一个环节。
由于债券付息方式的不同，债券的到期时间并不能很好的反映
债券期限的性质，于是Macaulay最早在1938年提出了久期的概
念，称为麦考利久期。久期衡量了债券价格对于利率的波动，
在风险管理中十分重要。
结论二：利率调整终将反映为到期收益率的调整，债券价 格总会达到调整后的理论价格，只是预期会对到达时间和过程 有较大影响。
虽然久期不是利率敏感性的良好测度，但它对于债券价格 的预测却有一定的参考价值。以各次调息为例，假设到期收益 率应当与调息相一致计算理论价格，列于表1。
表1 调息后的理论价格
调息日期
2.94
1.86
100.24
103.66
2008-12-23
3.18
2.3
2.03
102.48
103.34
*根据调息日收盘价计算，非交易日以调息前价格计算
将表1中的理论价格和实际价格进行对比发现，在一段时间以 后债券价格总会达到调整后的理论价格。比如，2007-4-23日债券 价格首次低于95.463，其后直到第二次调息前一直在这个价格水 平附近波动；而第二次调息之后于2007-6-1日，债券价格首次低于 93.973，其后价格一路下挫后又稍有反弹；几次调息以后，债券价 格触底，最低价为91.68元，与我们的最低理论价91.405相差不多； 08年债券价格在前半年的平稳之后开始大幅上扬，调息后2008-11-7 第一次打破99.167元，最高冲至102.8元，并未到达103.66。
债券的麦考利久期被定义为债券每次息票利息或本金支付
的现金流的加权平均期限，这个加权平均的权重是每笔现金流
的现值占债券所有现金流的现值的比重。它表示的是债券的实
际持有期限。麦考利久期的计算公式为：
∑ DM
=1 P
N 1
ti × PV (Ci )
（1）
其中， ti 为第 i 期现金流距债券到期日的时间； PV(Ci) 为第 i 期
)
=
N
γ + γM
(VT
− NK
)=
γN N + γM
( PT
− K)
（8）
图2 07～08年市场利率变化图
数据来源：/shibor/web/html/index.html
只有它为正时，持有人才会行权。总收益等价于股价为 P 的γN/(N+γM)份期权产生的总收益。认股权证可以通过 BlT ack-Scholes期权标准期权模型进行定价，可转债的价格应 当为债券各次现金流的现值与期权价格之和，即：
T 1
cA + A (1+ y)i (1+ y)T
+
N
γN +γM
× C( y, S0 ( y))
（10）
对式（10）求导，并除以价格，得可转债的久期计算公式：
D = − 1 ∂P P ∂y
∑ = 1 ( T
P1
cA (1 +
×i y) i+1
+
(1
A +
×T y)T
+1
)
−
N
γN + γM
(1 P
观点•ViewPoint
含权债券久期计算及其在风险管理中的应用
王炜辰1 叶 秩2 （1.清华大学理学院，北京 100084；2.永安财产保险公司总部，陕西 西安 710075）
【摘要】久期是测度债券利率风险的基本指标，在含选择权的债券和可 转债中，原始的久期定义无法体现选择权和期权对于风险的影响，本文 给出了能够反映该影响的合理的久期计算方法。在准确计算久期的基础 上，提出了利用久期进行长期债权市场价格预测和有效的利率风险免疫 的方法，对投资者的投资策略选择以及风险管理提供有价值的参考。 【关键词】久期；含权债券；可转债；价格预测；风险免疫
观点•ViewPoint
时间均为T年，权证的标的股票行权价为K元（不考虑由于标的
股票分红派息引起的执行价格的变动），在此也不考虑债券可
能附加的回售和回购条款。
首先需要给认股权证定价，这可以通过调整标准期权定价模
型以适应新股的稀释效应来进行定价。考虑一个公司有N股在外
股票和M份在外认股权证，每一份认股权证允许持有者以固定的
与真实价格93.4仅相差0.021。所以说久期体现了价格与 到期收益率变化的反向过程，这也是显然的，因为到期收益率 其实正是由市场价格导出的，其近似过程不过是对于敏感性测 度公式（2）的差分离散化。
但是对于市场利率则不然，我们将图1与图2对比，明显看 出市场利率变化较为平缓，也和调息过程保持一致，而债券价 格却具有很强的波动性。短期局部来看，经常出现市场利率上 升，债券价格却也上升的情况，市场的预期以及其他因素对债 券价格的影响甚至可以扭转价格变化的趋势。于是我们说久期 短期并非是市场利率敏感性的理想测度。这归根到底就是因为 市场利率的变化和到期收益率的变化不一致。债券价格的变动 的因素更多的来源于预期。
结论一：债券价格变化与到期收益率变化的反方向一致性 很好的体现在久期上，但久期并非市场利率短期调整的良好测 度，市场预期是价格变动的主要因素。
用久期基于到期收益率计算第二天收盘价，发现收盘价与实 际价格相差不到千分之一，对于面值100元的债券意味着误差不
超过0.1，甚至更小。以2007-8-22日债券价格为例，参照表2数 据，并查询得当天到期收益率由4.36%改变至4.34%，于是：
久期*
到期收益 率(%)
调整后理论到 期收益率(%)
债券 价格
调整后的理论 价格
2007-3-18
4.72
3.77
4.04
96.65
95.463
2007-5-19
4.67
3.68
3.95
95.13
93.973
2007-7-21
4.49
4.47
4.74
92.57
91.496
2007-8-22
4.41
4.36
券中占有很大一部分，它通常是通过在一定年限时提高利率并
赋予债券人选择回售的权利以此减小债权人面临的风险，也通
过降低风险降低票息利率，以更低的成本筹资。
假设某债券发行条款为：本期债券为N年期固定利率债