完全信息静态博弈：应用
古诺的双寡头垄断模型 古诺（1838）早在一个多世纪之前就已提
出了纳什所定义的均衡（但只是在特定的双寡 头垄断模型中）。古诺的研究现在已理所当然 的成为博弈论的经典文献之一，同时也是产业 组织理论的重要里程碑。本例将说明：（1） 如何把对一个问题的非正式描述转化为一个博 弈的标准式表述；（2）如何通过计算解出博 弈的纳什均衡；（3）重复剔除严格劣战略的 步骤。
其产品的产量，我们假定产品是连续可分割的。由于
产出不可能为负，每一个企业的战略空间就可表示为 Ssii就=[是0,企∞]业，选即择包的含产所量有q非i≥负0。实也数许，有其的中读一者个提代出表特性别战大略 的产量也是不可能的，因而不应包括在战略空间中， 不出过。，由于Q≥a时，P=0，任一企业都不会有qi≥a的产
为求出古诺博弈中的纳什均衡，我们首先要将其
转化为标准式的博弈。前面已经讲过，博弈的标准式 表述包含下列要素：（1）博弈的参与人；（2）每一 个参与人可以选择的战略；（3）针对每一个可能出现 的参与人的战略组合，每一个参与人的收益。双头垄
断模型当然只有两个参与人，即模型中的两个垄断企
业。在古诺的模型中，每一个企业可以选择的战略是
如果认为代数方式解纳什均衡过于抽象，
难以理解，我们还可以通过图形求解，
方法如下。等式1.2.1给出的是针对企业 j
的均衡战略
s
* j
时企业 i
的最优反应，同
样的方法我们可以推导出针对对企
业2的任意一个战略企业1的最优反应。
假定企业1的战略 q1满足 q1 a ，c企业2的最优反
max
0qi
i
(qi
,
q*j
)
max
0qi
qi
[a
(qi
q*j )
c]
设q*j a c（下面将证明该假设成立），
企业最优化问题的一阶条件既是必要条 件，又是充分条件：
i
qi
a c 2qi
q*j
0
即
qi
1 (a 2
c
q
* j
)
（1.2.1）
（1）参与人：寡头1、寡头2
（2）战略：寡头1选择产量q1≥0；寡头2选择产量q2≥0
（
3）收益：寡头1的 cq1=q1[a-(q1+q2)-c] ；
收 寡
益 头
为 2
π的1=收q1p益-cq为1=qπ12[=aq-Q2p]--
cq2=q2[a-Q]-cq2=q2[a-(q1+q2)-c]
按照参定与义人，i，一si*对应战该略满(足s1*,s2*)如是纳什均衡，则对每一个
1 (a c) 2
2 (a c)2 9 2 (a c) 3
卡特尔
若干经济主体人结成产业内“卡特尔” （cartel），是当代经济生活中利益共谋 的一种形式。 卡特尔的宗旨，是协调每个成员的生产 决策，主要是限制产量，并从中分享所 有可能获得的好处。
欧佩克：现实中的卡特尔
一个实际的例子是欧佩克，他们通过压低 成员国的产量来维持石油的高价格，从 而使所有的成员国获利。但是维持一个 卡特尔是困难的。
贝特兰德的双头垄断模型
下面我们讨论双头垄断种两个企业相互竞争的另一模 型。贝特兰德（1883）提出企业在竞争时选择的是产 品价格，而不像古诺模型中选择产量。首先应该明确 贝特兰德模型和古诺模型是两个不同的博弈，这一点 十分重要：参与人的战略空间不同，收益函数不同， 并且（随后就可清楚的看到）在两个模型的纳什均衡 中，企业行为也不同。一些学者分别用古诺均衡和贝 特兰德均衡来概括所有这些不同点，但这种提法有时 可能会导致误解：它只表示古诺和贝特兰德博弈的差 别，以及两个博弈中均衡行为的差别，而不是博弈中 使用的均衡概念的不同。在两个博弈中，所用的都是 上节我们定义的纳什均衡。
一条件。
但这种安排存在一个问题，就是每一家企 业都有动机偏离它：因为垄断产量较低， 相应的市场价格 p(qm ) 就比较高，在这一
价格下每家企业都会倾向于提高产量， 而不顾这种产量的增加会降低市场出清 价格。于是古诺的解才是一个大家都不 会偏离的均衡，在古诺的均衡解中，两 企业的总产量要更高一些，相应的价格 有所降低。
那么，如果产量组合(q1*, q2* )要成为纳什均衡， 企业的产量必须选择满足：
q1*
1 2
(a
c
q2* )
且
q2*
1 2
(a
c
q1* )
解这一对方程得：q1*
q2*
a
3
c
均衡解的确小于 a c ，满足上面的假设。
对这一均衡的直观理解非常简单。每一家企业当 然都希望成为市场的垄断者，这时它会选择
要全面表述这一博弈并求出其均衡解，还 需把企业i的收益表示为他自己和另一企 业所选择战略的函数。我们假定企业的 收益就是其利润额，这样，在一般的两 个参与人标准式博弈中，参与人i的收益 ui(si,sj)就可写为：
πi=qip-cqi=qi[a-Q]-cqi=qi[a-(qi+qj)-c]
我们照此进行转化：
qi使自己的利润 i (qi ,0)最大化，结果其产量将为
垄断产量qm (a c) / 2
并可赚取垄断利润 i (qi ,0) (a c)2 / 4 。在市
场上有两家企业的情况下，要使两家企业总的
利润最大化，两企业的产量之和 q1 q2 应
等于垄断产量 qm ，比如 qi qm / 2 就可满足这
假设市场中只有两个寡头企业1与2，他们 生产同样的产品，市场上该产品的价格由需求 决定：p=a-Q（更为精确一些的表述为：Q<a 时，P=a-Q；Q>a时，P=0）。Q=q1+q2是总 供给，q1、q2分别表示企业1、2生产同质产品 的产量。设企业i生产qi的总成本Ci(qi)=cqi，即 企业不存在固定成本，且生产每单位产品的边 际成本为常数c，这里，我们假定c<a。根据古 诺的假定，两个企业同时进行产量决策。
ui(si*,sj*)≥ui(si,sj*)
上式对对每S个i中参每与一人个i，可si选*必战须略是s下i都面成最立优，化这问一题条的件解等：价于：
max
siSi
ui
(
si
,
s
* j
)
在古诺的双头垄断模型中，上面的条件可 具体表述为：一对产出组合若是纳什均 衡，对每一个企业，应为下面最大化问 题的解：
应为：R2 (q1)
1 2
(a
c
q1 )
类似的，如果 q2 a c ，则企业1的最优反应
为：R1(q2 )
1 2
(a
c
q。2 )
如图1.2.1所示，这两个最优反应函数只有一个交
点，其交点就是最优产量组合(q1*, q2* )。
垄断利润与纳什均衡利润
垄断
纳什均衡
利润 产量
1 (a c)2 4
