若AB=BA则称矩阵A、B乘积可交换.
13
小结：
1. 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘. 2. 矩阵相乘不满足交换律，即一般来说
A B B A.
3. 矩阵相乘不满足消去律，即一般来说 由 A B A C 且 A 0 , 不能推出 B C .
14

0 , 1

0 B 1

1 0

解
0 AB 1

1 , 0

BA

0 1
1 0

6
例5 设
b1 b2 B b n
,
求AB、BA
7
例6
求
设A
AC、BC

3 2
1 , 1

B

5 9
1 , 1

C

0 1
0 3

对方程组
a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 3 x 3 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 b2 a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
(1)
a 11 记 A a 21 a 31
a1 1 记 A a 21

a12 a 22
a13 , a 23

x1 x x2 , x 3
b1 b b2

则方程组(2)可表示为 A x b .
10
二、矩阵乘法运算规律 定理1. 设A、B、C、O、E在下面各式中相应的
乘法和加法运算中都能进行，k为实数，则：
0 AB 0 0 , 0

1 , 1

1 B 1
1 1
则
故
2 BA 2
2 , 2
AB BA .
由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.
12
此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律， 而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即
k 1
s
i
例如:
1, 2 , , m ; j 1, 2 , , n
并把此乘积记作
C AB .
2
注意： 要使C=AB有意义，则A的列数必须等于B的行 数，且矩阵C的第i行第j列元素正好是A的第i行与B的 第j列对应元素乘积之和。
பைடு நூலகம்例如
不存在.
3
注意： 1. 乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元 素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和.
1)若 A B O , 且 A O , 不 能 推 出 B O ;
2 )若 A ( X Y ) O , 且 A O , 不 能 推 出 X Y .
但也有例外，比如设
2 A 0 0 , 2 1 B 1 1 , 1
则有
2 2 2 2 AB AB BA . , BA 2 2 2 2
第二章
第二讲
矩阵及其运算
矩阵的乘法运算
1
一、定义
设 A ( a ij ) 是 一 个 m s 矩 阵 ， B b ij 是 一 个 s n 矩 阵 ， 那 么 规 定 矩 阵 A 与 矩 阵 B 的 乘 积 是 一 个 m n 矩 阵 C ( c ij ) 其中
c ij a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j a is b sj a ik b kj
(1) 结合律：A（BC）=（AB）C； k（AB）=A（kB）
(2) 分配律：A（B+C）=AB+AC；
（B+C）A=BA+CA (3) OA=O ； AO=O (4) EA=A ； AE=A. 注：单位矩阵E和数1的作用一样。
11
注意
矩阵不满足交换律，即：
AB B A
如：
设 A 1 1
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 , a 33
x1 x x2 , x 3
b1 b b2 b 3
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则方程组(1)可表示为 A x b .
又如： 对方程组
a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 3 x 3 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2 (2)
2. 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的
乘积才有意义. 3. 两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的 行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩 阵的列数.
4
又如
5
例3
1 设A 2

3 , 4


B

2 1
0 3
4 1

解
AB

1 0
9 12
1 4
例4
1 设A 0
解：
AC

3 2
1 1

0 1
0 1 3 1

3 3

BC

5 9
1 1

0 1
0 1 3 1

3 3

此处
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方程组的矩阵表示：
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 a13 x1 a 23 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 x a 33 3 a 31 x1 a 32 x 2 a 33 x 3