1. 如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于点
M,BN⊥MN于点N.
(1)试说明:MN=AM+BN.
(2)如图②,若过点C作直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N(AM>BN),(1)中的结论是否仍然成立?说明理由.
【答案】(1)答案见解析;(2)不成立
【解析】试题分析：（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，即可得出结论；
（2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN 与MN之间的数量关系．
试题解析：解：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB．
在△AMC和△CNB中，
∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB．
∵MN=NC+CM，∴MN=AM+BN；
（2）图（1）中的结论不成立，MN=BN-AM．理由如下：
∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB．
在△AMC和△CNB中，
∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB．
∵MN=CM-CN，∴MN=BN-AM．
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．
2. 如图，BE、CF是△ABC的高且相交于点P，AQ∥BC交CF延长线于点Q，若有BP=AC，CQ=AB，线段AP与AQ的关系如何？说明理由。

【答案】证明见解析
【解析】试题分析：
由BE、CF是△ABC的高，易得∠ABP+∠BPF=90°，∠ACP+∠CPE=90°，结合∠BPF=∠CPE，易得∠ABP=∠ACP，这样结合BP=AC，CQ=AB，即可由“SAS”证得△ACQ≌△PBA，从而可得AP=AQ，∠Q=∠PAF，结合∠PAF+∠APF=90°，可得：∠APF+∠Q=90°，即可得到∠QAP=90°，从而可得AQ⊥AP，由此即可得到AQ与AP的关系是相等且互相垂直.
试题解析：
AQ与AP的关系是：相等且互相垂直，理由如下：
∵BE、CF是△ABC的高，
∴∠BFP=∠CEP=90°，
∴∠ABP+∠BPF=90°，∠ACP+∠CPE=90°，
又∵∠BPF=∠CPE，
∴∠ABP=∠ACP，
在△ACQ和△PBA中：
，
∴△ACQ≌△PBA（SAS），
∴AP=AQ，∠Q=∠PAF，
∵∠PAF+∠APF=90°，
∴∠APF+∠Q=90°，
∴AP⊥AQ，即：AQ与AP的关系是相等且互相垂直.
3. 如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC。

（1）求证：AC=DB；
（2）如图2，E、F两点同时从A、D出发在直线AD上以相同的速度反向而行，BF和CE 会相等吗？请证明你的结论。

【答案】（1）证明见解析（2）BF=CE
【解析】试题分析：
（1）由∠ABC=∠DCB，AB=DC结合BC=CB即可证得：△ABC≌△DCB，从而可得AC=DB；（2）由题意可得AE=DF，从而可得AF=DE，由AD∥BC结合∠ABC=∠DCB，易得∠BAD=∠CDA，再结合AB=DC即可证得△BAF≌△CDE，从而可得BF=CE.
试题解析：
（1）在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）,
∴AC=DB；
（2）BF=CE，理由如下：
由题意可得：AE=DF，
∴AF=DE，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠BAD=∠CDA，
在△BAF和△CDE中，
，
∴△BAF≌△CDE（SAS），
∴BF=CE.
4. 如图，在△ABC和△DEC中，∠ABC=∠DEC=90°，连接AD交射线EB于F，过A作AG∥DE交射线EB于点G，点F恰好是AD中点。

（1）求证：△AFG≌△DFE；
（2）若BC=CE，
①求证：∠ABF=∠DEF；
②若∠BAC=30°，试求∠AFG的度数。

【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析②∠AFG=60°。

【解析】试题分析：
（1）由AG∥DE易得：∠G=∠DEF；由F是AD的中点易得AF=DF，结合∠AFG=∠DFE，即可证得：△AGF≌△DEF；
（2）①由BC=CE可得∠CBE=∠CEB，结合∠ABC=DEC=90°，易得∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，从而可得∠ABF=∠DEF；
②由△AGF≌△DEF可得∠G=∠DEF，AG=DE结合∠ABF=∠DEF，可得：∠ABF=∠G，从而可得：AG=AB，这样即可得到：AB=DE，结合∠ABC=∠DEC=90°，BC=CE即可证得：△ABC≌△DEC，由此可得AC=CD，∠EDC=∠BAC=30°，结合AC∥DE可得∠ACD=∠EDC=30°，从而可得∠CAD=；由∠BAC=∠G+∠ABG=30°结合∠G=∠ABG 易得∠G=15°，结合∠CAD=∠G+∠AFG即可得到∠AFG=60°.
试题解析：
（1）∵AG∥DE，点F是AD的中点，
∴∠G=∠DEF，AF=DF，
∵△AGF和△DEF中，
，
∴△AGF≌△DEF（AAS）；
（2）①∵BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵∠ABC=DEC=90°，
∵∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，
∴∠ABF=∠DEF；
②∵△AGF≌△DEF，
∴∠G=∠DEF，
∵∠ABF=∠DEF，
∴∠ABF=∠G，
∴AG=AB，
∵△AGF≌△DEF，
∴AG=DE，
∴DE=AB，
∵△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC，（SAS）
∴AC=CD，∠BAC=∠EDC，
∵AC∥DE，
∴∠EDC=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAC=30°，
∴∠CAD=75°，
∵∠ABF=∠G，∠BAC=30°，
∴∠G=15°，
∵∠CAD=∠G+∠AFG，
∴∠AFG=60°.
点睛：本题是一道综合考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质的题目，解第2
小题第（1）问的关键是由∠ABC=90°得到∠ABF+∠CBE=90°；解第2小题第（2）小问的关键是结合前面证得△ABC≌△DEC，这样即可结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得∠AFG的度数.。