|
uuur BC
|
uuur |uAuurB
|
cos(
B)
|
uuur uuur BCu|uu|r AC
|
cos
C
|
uuur BC
|
|
uuur BC
|
0
| AB | cos B

| AC | cosC
∴
uuur BC (
uuur uuurAB
uuur uuurAC
)
| AB | cos B | AC | cos C
| AB | cos B | AC | cos C
2
[0, )
是△ABC的边BC的高AD 上的任意向量，过垂心.
例3． O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
动点 P 满足
uuur OP
uuur
OA (
uuur uuurAB
uuur uuurAC
),
| AB | cos B | AC | cos C
C′
A
E F
BD
A′
B′
证明垂心定理
证明: AD、BE、CF为ΔABC三条高，
过点A、B、C分别作对边的平行线
相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′
C
的中垂线；同理BE、CF也分别为
A′C′、A′B′的中垂线，
由外心定理，它们交于一点，
命题得证．
例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高， 求证：AD、BE、CF相交于一点。
PA PB PB PC PC PA, 则P是△ABC的（ D ）
若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知 O 到 ABC 的三顶点距离相等。
故 O是 ABC 的外心 ，选B。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心
的定义及性质等相关知识巧妙结合。
O是
ABC的外心
uuur OA
uuur
uuur
∴( uuurAB uuurAC )
| AB | cos B | AC | cosC
在△ABC的边BC的高AD上.
所以，OuuPur
uuur OA
(
uuur uuurAB
uuur uuurAC
) 时，
| AB | cos B | AC | cos C
P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
则点O是ΔABC的（ D ）
A
（A）三个内角的角平分线的交点
（B）三条边的垂直平分线的交点
O
（C）三条中线的交点
B
C
（D）三条高线的交点
解: OA • OB OB • OC OB•(OAOC) 0
OB • CA 0 OB CA 则O在CA边的高线上,
垂心
同理可得O在CB边的高线上.
5. (u2u0ur05uu湖ur 南)uuuPr 是uu△ur ABuuCur所u在uur平面上一点，若
三角形“四心”的向量表 示
一、 外心
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，
则有OA=OB=OC，
A
故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等，
A
故点O是ΔABC外接圆的圆心．
O
因而称为外心．
O
B
C
B
C
uuur uuur uuur
证：设BE、CF交于一点H，
uuur r uuur r uuur r 令AB a, AC b, AH h,
A E
uuur r r uuur r r uuur r r 则BH h a,CH h b, BC b a,
FH
uuur uuur uuur uuur
Q BH AC,CH AB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 求证：AB OC, BC OA,CA OB.
证：设
uuur r uuur r uuur r uuur r r uuur r r uuur r r OA a,OB b,OC c,则 : BC c b,CA a b, AB b a.
则P的轨迹一定通过△ABC的 _______
解: ∵
uuur BC (
uuur uuurAB
uuur uuurAC
uuur uuur uuur uuur ) uBuurC AB uBuuCr AC
| AB | cos B | AC | cosC | AB | cos B | AC | cosC
从而 AB OC (b a) c
rr rr
uuubrc auucur 0, AB OC.
B
A
O C
同理：uBuCur
uuur OA,
uuur CA
uuur OB.
垂心
1.O是 ABC 的垂心
1 OA OB OB OC OC OA
uuur
uuur
2. ( uuurAB uuurAC )
BD
C
rrr
(h r
a) r
b r
0
r (h
r a)
r b
r (h
r b)
r a
r h
r (b
r a)
0.
(h b) a 0
uuur uuur AH BC.
垂心
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．
例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur | OA |2 | BC |2 | OB |2 | CA |2 | OC |2 | AB |2 .
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
例4.（2005全国Ⅰ）点O是ΔABC所在平面上一点，
若 OA • OB OB • OC OC • OA ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 由题设 :| OA |2 | BC |2 | OB |2 | CA |2 | OC |2 | AB |2 .
化简：ar 2
r (c
r b)2
r2 b
r (a
r c)2
r2 c
r (b
r a)2
rr rr rr
得:cb ac ba
uuur uuur r r r
uuur OB
uuur OC
uuuur uuuur uuuur OA2 OB2 OC2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
0 (OA OB) AB (OB OC) BC (OC OA) CA
二、垂心 三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。