三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，所以 ()GA GB GC =-+．以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+，所以GD GA =-．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =．所以AE 是ABC △的边BC 的中线． 故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ，=OC c ，试用a b c ，，表示OG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴而03=-++∴OG c b a图23cb a OG ++=∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BCAC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0．证明：如图的所示，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GCCF GBBE GA AD 232323 )(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点， 则1()4PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2PO PB PD =+， 1()4PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0．二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G 是ABC △内一点，满足MC MB MA ==，则点M 为△ABC 的外心。
例2 已知G 、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心，点A ，B 的坐标分别为A （-1，0），B （1，0），且GM ∥AB ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l 过图3点（0，1），并与曲线交于P 、Q 两点，且满足0=OP ，求直线l 的方程。
解 （1）设C （x,y ），则G （3,3y x ），图5其中0,≠y x ， 由于GM ∥， 故my m =， 外心M （0，3y ）， 为外心M∴MC MA =，得222)3(1)3()0(yy y x +=-+-∴轨迹E 的方程是3322=+y x )0(≠xy（2）略。
三、三角形的垂心的向量表示及应用命题三：已知G 是ABC △内一点，满足⋅=⋅=⋅，则点G 为垂心。
（2005全国文12）证明:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC∆的垂心.点评：本题将平面向量有关运算、“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧妙结合。
变式：若H为△ABC所在平面内一点，==则点H 是△ABC 的垂心证明: 2222BC CA HB HA -=-BA CB CA BA HB HA •+=•+∴)()( =•--+BA CB CA HB HA )(得0即=•+BA HC HC )(0HC AB ⊥∴同理HB AC ⊥，HA BC ⊥ 故H 是△ABC 的垂心四、三角形的内心的向量表示及应用 命题四：O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA ||BC ||BA |(AC|AB |=-⋅=-⋅=-⋅变式1：如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则O 是ABC ∆内心的充要条件是0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅变式2：如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++。
例4（2003江苏）已知O 是平面上一定点，A、B 、C是平面上不共线的三个点，满足++=λ，[)+∞∈,0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC的内心 。
解： 如图AP OA OP +=由已知OA OP ++=λ，+=λ ，[)+∞∈,0λ∴[)+∞∈,0λ设=λ，=λ，∴D 、E 在射线AB 和AC 上。
∴AE AD AP +=∴AP 是平行四边行的对角线。
又= ，∴ADPE 是菱形。
∴点P 在EAD ∠ 即CAD ∠ 的平分线上。
故P 点的轨迹一定通过△ABC 的内心。
五、三角形外心与重心的向量关系及应用命题五：设△ABC 的外心为O ，则点G 为△ABC 重心的充要条件为：)(31OC OB OA OG ++=证明：如图8，设G 为重心，连结AG 并延长，交BC 于D ，则D 为BC的中点。
∴ )(3132AC AB OA AD OA AG OA OG ++=+=+=)(31)(31OC OB OA OA OC OA OB OA ++=-+-+=反之，若)(31++=， 则由上面的证明可知：)(31AC AB AG +=设D 为BC 的中点，则)(21AC AB AD +=， 图8从而AD AG 32=， ∴G 在中线AD 上且AG=32AD ，即G 为重心。
六、三角形外心与垂心的向量关系及应用命题六：设△ABC 的外心为O ，则点H 为△ABC 的垂心的充要条件是OC OB OA OH ++=。
证明：如图2，若H 为垂心，以OB 、OC 为邻边作平行四边形OBDC ， 则 OC OB OD +=∵O 为外心， ∴OB=OC ，∴平行四边形OBDC 为菱形 ∴ OD ⊥BC ，而AH ⊥BC ， ∴ AH ∥OD ，∴存在实数λ，使得OC OB OD AH λλλ+== ∴ OC OB OA AH OA OH λλ++=+=①。
同理，存在实数μ，ω，使得μμ++=+= ②OB OA OC CH OC OH ωω++=+=③ 比较①、②、③可得，1===ωμλ， ∴ OC OB OA OH ++=反之，若OC OB OA OH ++=，则OC OB AH +=，∵ O 为外心，∴OB=OC∴0||||)()(22=-=-•+=•OC OB OC OB OC OB CB AH ∴AH ⊥CB ，同理，BH ⊥AC 。
∴ H 为垂心。
图9例6、已知H 是△ABC 的垂心，且AH=BC ，试求∠A 的度数 解：设△ABC 的外接圆半径为R ，点O 是外心。
∵ H 是△ABC 的垂心 ∴OC OB OA OH ++= ∴OC OB OA OH AH +=-=∴)2cos 21(2)(||2222A R OC OB AH AH +=+== ∵OB OC BC -= ，∴)2cos 21(2)(||2222A R OB OC BC BC -=-==∵AH=BC ，∴ A A 2cos 212cos 21-=+ ∴ 02cos =A而∠A 为△ABC 的内角，∴ 0＜2A ＜360° 从而2A=90°或270° ∴ ∠A 的度数为45°或135°。
七、三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用命题七：△ABC 的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ，则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线），且OG=21GH 。
证明：如图10，由命题五、六知，连结AG 并延长，交BC 于D ，则D 为BC 的中点。
)(31OC OB OA OG ++=，OC OB OA OH ++=，∴OG OH 3= ∴O 、G 、H 三点共线，且OG=21GH 。
例7、已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ），是OBC 的三个顶点。
试写出OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线。
（2002年全国）解：重心G 为)3,31(c b +，设H 点的坐标为),(0y bDGH O A图10OCBAP图11∵BC OH ⊥，BC =(b-1，c )，0)1(0=++cy b b ，故cb b y )1(0-=H 点的坐标为))1(,(c b b b -设外心F 的坐标为),21(1y 由|FO |=|FC |，得c c b b y 2)1(21+-=，所以F 点的坐标为（，）。
从而可得出GH =（，），FH =（，）FH 32 GH =，GH ∥FH ，F 、G 、H 三点共线。
点评：向量不仅是平面解析几何入门内容，而且是解在关数形结合问题的重要工具。
它一般通过概念的移植、转化，将坐标与向量结合起来，从而使一些难题在思路上获得新的突破。
例8、已知P 是非等边△ABC 外接圆上任意一点，问当P 位于何处时，PA 2+PB 2+PC 2取得最大值和最小值。
解：如图11，设外接圆半径为R ，点O 是外心，则 PA 2+PB 2+PC 2=222)()()(OC PO OB PO OA PO +++++)(262OC PO OB PO OA PO R ⋅+⋅+⋅+= )(262OC OB OA PO R ++⋅+=OH PO R ⋅+=262（由命题六知：H 为垂心，） ∴当P 为OH 的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值6R 2+2R ·OH当P 为OH 的延长线与外接圆的交点时，有最小值6R 2－2R ·OH。