与三角形“四心”相关的向量结论
濮阳市华龙区高中 张杰
随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。

平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。

本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。

希望在得出结论的同时，能引起一些启示。

问题：设点O 在ABC ∆内部，且有03=++OC OB OA ，则BOC ∆与AOC ∆的面积的比值是____. 分析：∵03=++OC OB OA 设OD OB =3，则0=++OC OD OA ，
则点O 为ADC ∆的重心.∴ACD AOD COA DOC S S S S ∆∆∆∆=
==31. 而 AOC COD BOC S S S ∆∆∆==3131， ∴3
1:=∆∆COA BOC S S . 探究：实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。

结论： 设O 点在ABC ∆内部，若()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆
证明： 已知O 点在ABC ∆内部，且()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0
设：OF OC r OE OB n OD OA m ===,,，则点O 为△DEF 的重心，
又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mn
S ∆∆=1， ∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆
说明: 此结论说明当点O 在ABC ∆内部时，点O 把ABC ∆所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。

应用举例：设点O 在ABC ∆内部，且40OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与OBC ∆的面积之比是：
A ．2：1
B ．3：1
C ．4：3
D ．3：2
分析：由上述结论易得：1:1:4::=∆∆AOB COA BOC S S S ，所以2:34:6:==∆OBC ABC S S ，故选D 当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。

引申：设O 点在ABC ∆内部，且角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,
结论1：若O 为ABC ∆重心，则0=++OC OB OA
分析：重心在三角形的内部，且重心把ABC ∆的面积三等分.
结论2 ：O 为ABC ∆内心，则0=++OC c OB b OA a
分析：内心在三角形的内部，且易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =c b a ::
结论3： O 为ABC ∆的外心，则02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A
分析： 易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =sin2A ：sin2B ：sin2C.
⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=⋅⋅+=⋅22BC t BC AB s BC AO AB BC t AB s AB AO 由结论3及结论：O 为ABC ∆的外心，H 为ABC ∆的垂心，则OC OB OA OH ++=可得结论4。

结论4：若H 为ABC ∆垂心，则
()+-+HA A C B 2sin 2sin 2sin ()+-+HB B C A 2sin 2sin 2sin ()02sin 2sin 2sin =-+HC C B A 即0cos cos sin cos cos sin cos cos sin =++HC B A C HB C A B HA C B A
证明：∵对任意ABC ∆有OC OB OA OH ++=，其中O 为外心，H 为垂心，
∴()OC OB HA +-=，()OC OA HB +-=()
OA OB HC +-=
则由平面向量基本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数z y x ,,，使得0=++HC z HB y HA x ， 即()()()0=+++++OC y x OB x z OA z y ，由结论3得：02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A 所以有：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+C y x B x z A z y 2sin 2sin 2sin ，⎪⎩
⎪⎨⎧-+=-+=-+=∴C B A z B A C y A C B x 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin
所以可得：()+-+HA A C B 2sin 2sin 2sin ()+-+HB B C A 2sin 2sin 2sin ()02sin 2sin 2sin =-+HC C B A 化简后可得：0cos cos sin cos cos sin cos cos sin =++HC B A C HB C A B HA C B A
应用举例：
例1：已知O 为ABC ∆的内心，且0432=++OC OB OA ，则角A 的余弦值为 。

分析：由结论2可得4:3:2::=c b a ，所以由余弦定理可得：874324916cos =⨯⨯-+=
A 例2：已知ABC ∆的三边长为2,6,1==
=CA BC AB ，设ABC ∆的外心为O ，若BC t AB s AO +=， 求实数t s ,的值。

分析：()()OC BO t OB AO s AO +++= ，整理后即得：OC s t OB s t s OA 1
1-+--=. 由结论3可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--A C
s t A B s t s 2sin 2sin 1
2sin 2sin 1，又易得161532sin ,4152sin ,8152sin ==-=C B A ， ∴.5
3,57==t s 点评：此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组：
解方程组可得结果。

例3：设H 是ABC ∆的垂心，当6,5===BC AC AB 时，BC n AB m AH +=，求实数n m +的值.
分析： 由结论4可得： 0cos cos sin cos cos sin cos cos sin =++HC B A C HB C A B HA C B A . 而C B =，整理后得：()0cos cos cos 1=++-HC A HB A HA A
由
BC n AB m AH +=，可得()()01=+-+-HC n HB n m HA m ， ∴A A m n m n m cos 1cos 11--=--=---. 而25
7552362525cos =⨯⨯=+=A ， 解得327,3214==n m ， ∴32
21=+n m . 点评：此题的通用解法应该是仿例2的点评，构造与基底相关的方程组。

通过这样的思考、探究，不仅得到了与三角形的“四心”相关的有用结论，更为重要的是对提高发现问题和解决问题的能力有很大帮助，正契合了新课标对学生能力的要求。

所以在平时的教学中要注意引导学生经常做一些类似的思考与探究，将极大地提高学生的数学素质及思维能力。