1.9 倒格子(倒易点阵reciprocal)*
学习交流PPT
1
1.9 1 倒格子(倒易点阵)*的定义：
•1 正格矢与倒矢
S S0 P
原子可向空间任何方向散射 X光线，只有一些固定方向 可形成衍射。
B AO
•点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲点阵中由原胞基 矢a1，a2，a3构成的矢量，
•根据正点阵与倒易点阵的关系，(k-k0)必是倒易空间
中的位置矢量，令：
Gh k -k0
2
(S
S0 )
•有
Rl• Gh = 2π u ( 学习交流PPT Rl和Gh 不一定平行)
3
•可见， Rl和 Gh的量纲是互为倒逆的， Rl是格点P的位 置矢量，称为正矢量， kh称为倒易矢量。 •若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3， •则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵.
aa13aa33
2
a
2
a
i j
离原点最近的倒 格点有４个： b1，-b1，b2，-b2．
-b1
b2
b1 －b2
学习交流PPT
14
离原点次近的倒
格点有４个：
b1＋b2 ，b1-b2 ，
b2，-b2．
-b1＋b2
b1＋b2
－b1-b2
b1-b2
学习交流PPT
15
离原点再远的倒格点有４个：
２b1，-２b1，２b2，-２b2．
２b２
－２b1
２b1
－２b 学习交流PPT
２
16
二维正方晶格的布里渊区
学习交流PPT
17
二维长方晶格的布里渊区
学习交流PPT
18
二维六方晶格的十个布里渊区
学习交流PPT
19
学习交流PPT
20
(3) 三维晶格
• a. 简立方晶格 倒易空间示意图
aaa321
ai
aj
ak
b1
b2
•S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍 射后光程差为：
A0 OB -Rl S0 RlS Rl (S-S0)
学习交流PPT
2
•当X光为单色光，衍射加强的条件为：
•
Rl•(S-S0)=u •λ
•令
k
2
S
k0
2
S0
，代入上式，
•衍射加强条件变为： Rl• （k -k0） = 2π u
Z
h1、h2、h3 Z
结论： 若两矢量点积为2的整数倍， 且其中一个矢量
为正点阵位矢， 则另一个矢量必为倒易点阵的位矢。
学习交流PPT
7
•为什么在倒易关系中存在2π 因子，这是因为如此定 义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的
恒等式：
•
eiGT 1
学习交流PPT
8
(3) 两个点阵原胞体积之间的关系：
a1、 a2、 a3： 原胞基矢 正点阵
学习交流PPT
5
V
b1 b2 a1 b 3(a2
2 a2 a3
2 a3V a1
2
a1
V
a2
a3
)
V 原胞体积
12：：bb11的方2d向1 沿a2、d1是a3构a2、成a的3构晶成面的的晶法面线族方的向面间距
学习交流PPT
6
（2）. 倒格子点阵与正格子点阵的关系
K空间
学习交流PPT
12
1.9.3 常见晶格的布里渊区
•(1) 一维晶格
a1
ai
b1
2
a
i
(2) 二维晶格
a1、a2
构 造a3， 令a3＝k
b1
b2
2 2
a1 a1
aa2学3aa习22交aa流31PaaPT33
13
aa12
ai aj
b1
b2
2 2
a1 a1
aa23aa22
(1) 两个点阵基矢之间的关系：
ai
bj
2 ij
2，i
0，i
j j
b1 b2 b3
2 2 2
a2 a3
a3V a1
a1
V
a2
V
(2) 两个点阵格矢之间的关系：
正点阵：
正格矢
Rl
l1a1
l2a2
l3a3
l1、l2、l3 Z
倒则易有点： 阵：倒格矢Rl G Gh h＝2h1b1
h2b2 h3b3
Γ (r)为周期函数
将Γ (r)作傅里叶级数展开，有：
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn
r
n
n
iGn
r
n
n1 n2 n3
n
学习交流PPT
11
总结：
晶体点阵 实际晶体结构
显微图像 微观粒子 线度量纲：L 位置空间 坐标空间
倒易点阵 虚构
衍射图像 一族晶面 线度量纲：L－1 倒易空间 傅里叶空间
V* b1 (b2 b3 )
(2 )3
V
可见V*与V互为倒数
上式利用了 A B C ( A C)B ( A B)C
(4) 倒格矢和正点阵晶面族之间的关系：
正点阵中一族晶面，晶面指数为：（h1h2h3）
倒易点阵中倒格矢：
Gh
h1b1 h2b2
h3b3
则有：
GGhh
b 4π a
•体心立方晶格的倒易晶格是面心立方，其晶胞
常数为 4 。
a
学习交流PPT
22
c. 面心立方晶格
a1 a2 a3
a
2 a
2 a
2
(j (i (i
k) k) j)
b3
2
a
2
a
2
a
i j k
b1
倒易点阵仍为简立方晶格
b3 b2
学习交流PPT
b1
21
b. 体心立方晶格 倒易空间示意图
a1
பைடு நூலகம்
a 2
(
a2 a3
a
2 a
2
i j k) (i j k) (i j k)
b1
b2
b3
2π
a 2π
a 2π
a
(j k) (i k) (i j)
// (h1h2h3
＝ 2
d h1h2h3
)
法线方向
证明如下：
(5)倒易点阵与正点阵互为倒易点阵
(6)倒易点阵与正点阵学有习交流相PPT同的宏观对称性
9
倒格矢和正点阵晶面族示意图
CA＝OA OC a1 a3
CB＝OB
OC
h1 a2
ah33
h2 h3
CA
Gh
0
Gh
CA
CB Gh 0 Gh CB
d h1h2 h3＝ah11
Gh Gh
a1
(h1b1
h2b2
h3b3 )
h1 Gh
2
Gh
学习交流PPT
返回
10
•3.倒易点阵与傅里叶变换
Γ
若(r)有rr＝ rx1a1Rl，x2Ral2
x3a3 l1a1
x1、x2、x3 l2a2 l3a3
R l1、l2、l3
Z
则有Γ (r) Γ (r) (示意图)
•(b1，b2，b3)如何确定？
学习交流PPT
4
1.9.2 倒格子空间(倒易点阵)*
•（1）.倒矢与正格矢的关系：
点阵：原胞基 矢a1、a2、a3
b1 2 b2 2 •b3 2
a2 a3
a3V a1 ， V
a1
V
a2
V
a1 (a2
a3 )
原胞体积
b1、 b2、 b3： 原胞基矢 倒易点阵