设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢
a1,a2,a3上的 截距分别为
a1 , a2 , a3 。
h1 h2 h3
a3
由图可知：
CA OA OC a1 a3
C Kh
h1 h3
B a2
CB OB OC a2 a3
O
A
K K
h h
CA CB
r
rh2
(h1b1 h2 b2
是一定的。
在实际应用中常选用单胞坐标系，即以 a,b,c 为基矢
a 2π b c Ω
b 2π c a Ω
c 2π a b Ω
Ω (ab )c
K hkl ha kb lc
三、倒格子与傅里叶变换
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r Rl r
倒格子基矢的方向和长度如何呢？
2π
b1 a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2
Ω
b3
a3
b2
a2
a1
Sd
b1
b1
a2 a3 2π
2π
Ω
d1
b2 2π d2
b3 2π d3
一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它
的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒
成的空间是位置空间或称为坐标空间。
晶体结构
正格子
1.Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
2.与晶体中原子位置 相对应； 3.是真实空间中点的周 期性排列；
4.线度量纲为[长度]
5.位置或坐标空间
倒格子
1. K n h1b1 h2b2 h3b3
2.与晶体中一族晶面相 对应； 3.是与真实空间相联系的 傅里叶空间中点的周期性 排列； 4.线度量纲为[长度]-1
的长度等于
。
d h1h2h3
由平面方程： X n d 得：
ai
bj
2 ij
d h1h2h3
a1 h1
•
Kh Kh
a1 h1b1 h2 b2 h3 b3
2π
h1
Kh
Kh
即：
2
d h1h2h3
h1b1 h2b2 h3b3
由此可见指数(h1h2h3)小的晶面系的面间距较大，这些 面上的原子排布比较密集，因为单位体积内的原子数目
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
其中a1 , a2 , a3 是正格子基矢，
Ω a1 a2 a3
是正格子原胞的体积
与 K n h1b1 h2b2 h3b3 (h1, h2, h3为整数) 所联系的各点
的列阵即为倒格子。
倒格点在倒空间里完全呈周期性排列,每个倒格点周围环境完全相 同。每个倒格子都是倒空间里的 布拉菲格子。
Rl 是正格矢。
上式两边分别按傅里叶级数展开：
r (K h) eiKhr
h
r Rl
K ei K h rRl h
h
rr
eiKRl 1
K h Rl 2π
K h波矢的量纲也是[米]1，由倒格子 所组成的空间可理解为状态空间（K空间），而由正格子所组
Rl l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3
Rl K h (l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 ) ( h1b1 h2 b2 h3 b3 )
2π( l1h1 l2h2 l3h3 )
2π ( i j )
2π
a i b j 2π ij
0
i j
3. Ω* 2π3 (其中和*分别为正、倒格子原胞体积)
Ω
Ω* b1 b2 b3
2π
3
a2 a3
a3 a1 a1 a2
Ω
A B C A C B A BC
a3
a1
a1
a2
A BC AC B AB C
a3
a1
a2
a1
a3
a1
a1
第三节 倒格子
本节主要内容: 一、倒格子定义 二、倒格子与正格子的关系 三、倒格子与傅里叶变换
前面讨论原子(基元)在坐标(实,位置)空间中的排列-----正格子,正空间 从坐标的倒易空间，即波矢K空间看晶体结构-----倒空间
后续讨论晶格振动、能带理论等都是在倒格子空间（波矢空间）
晶体结构=晶格+基元 一个晶体结构有两个格子，一个是正格子，另一个为倒格子。
正格子 正格基矢 a1 , a 2 , a 3 正格（点位）矢：
Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
倒格子 倒格基矢 b1,b2 ,b3 倒格（点位）矢：
K n h1b1 h2b2 h3b3
每一个布拉菲格子都有一与之相对应的倒格子
一、倒格子定义
倒格子基矢定义为：
b1 2π a2 a3 Ω
K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。
5. 波矢或状态空间
已知晶体结构如何求其倒格子呢？
晶体 结构
正格子
正格子 基矢
倒格子 基矢
倒格子
2π
b1 a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
a1 ,a2 ,a3 b1 ,b2 ,b3
2π ( i j )
ai b j 2π ij 0 i j
数的2倍。
二、倒格子与正格子的关系
1. a i b j 2π ij 2π ( i j )
0 i j
a1 b1 a1 2π a 2 a 3 Ω
2π
a1 b2 a1 2π a3 a1 Ω
0
2. Rl K h 2π (为整数)
其中Rl和K h分 别为正格点位矢和倒格点位矢。
rr (h1b1 h2 b2
h3 r h3b3 )
r h3b3 )
r a1 hr1 a2 h2
r a3 hr3 a3 h3
0 0
a1
所以 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3与晶面族(h1h2h3)正交。
2π
(2)证明 K h h1b1 h2 b2 h3 b3
a2
Ω a1
Ω*
2π 3
a2
a3
Ω
Ω
a1
2π3
Ω
4.倒格矢 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 与正格子中晶面族(h1h2h3)
正交，且其长度为 2π 。(要求记住）
d h1h2h3
(1)证明 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3与晶面族(h1h2h3)正交。