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数学建模作业及结课评分要求

数学建模作业[具体问题]1、某银行经理计划用一笔资金进行证券投资业务,可供购进的证券及其相应信息如下表所示,且有如下规定和限制:(1)市政证券的收益可以免税,其它证券的收益需要按50%的税率纳税;(2)政府及代办机构的证券总共至少购进400万元;(3)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级越小,信用程度越高);(4)所购证券的平均到期年限不超过5年;(1)若该经理有1000万资金,应如何投资?(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元,该经理应该如何操作?(3)在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变?若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变?注:为简化问题起见,题中的税前收益率和利率都与年限无关,即都为固定值。

基本模型决策变量:设每种证劵分别投资A、B、C、D、E(万元),平均信用等级为X,平均到期年限为Y。

目标函数:设投资总金额为Q,投资的利润为W(万元),根据条件有W=A×4.3%+B×5.4%×50%+C×5.0%×50%+D×4.4%×50%+E×4.5%=0.043×A+0.027×B+0.025×C+0.022×D+0.045×E约束条件:平均信用等级X=(2×A+2×B+C+D+5×E)/ Q≤1.4平均到期年限Y=(9×A+15×B+4×C+3×D+2×E)/Q≤5非负约束所有的证劵投资均为非负值附加约束B+C+D≥400模型分析与假设每种证劵投资资金均为连续变量取值,税前收益率和利率都与年限无关;每种证劵投资资金符合比例性、可加性、连续性。

模型求解根据题设的条件,针对问题一有如下函数关系及约束条件W=0.043×A+0.027×B+0.025×C+0.022×D+0.045×EA+B+C+D+E=1000=QB+C+D≥4002×A+2×B+C+D+5×E≤1.4×Q=14009×A+15×B+4×C+3×D+2×E≤5×Q=50000≤A≤10000≤B≤10000≤C≤10000≤D≤1000 0≤E≤1000模型求解,用LINGO软件求解,程序如下:从程序运行的结果中可以得到最优解为:A=218.1818,B=0,C=736.3636,D=0,E=45.45455,W=29.83636。

即对A中证劵投资218.1818万元,对C中证劵投资736.3636万元,对E中证劵投资45.45455万元,对B和D中证劵不进行投资,此种投资方案可使投资利润最大为29.83636万元。

针对问题二在问题一的条件下,从程序运行的结果中可以看到,程序的第二条所对应的影子价格为2.983636%,大于2.75%,所以应该借足100万元进行投资。

用LINGO软件求解,程序如下从程序运行的结果中可以得到最优解为:A=240,B=0,C=810,D=0,E=50,W=32.82。

即对A中证劵投资240万元,对C中证劵投资810万元,对E中证劵投资50万元,对B和D中证劵不进行投资,此种投资方案可使投资利润最大为32.82万元。

针对问题三在问题一的条件,从程序的运行结果中,从灵敏度分析的结果中可以看到A的系数在0.0417~0.0465之间变化时,投资的最优解仍然不变,因此证劵A的税前收益增加为4.5%时,投资不应改变;C的系数在0.02444~0.0423333之间变化时,投资的最优解仍然不变,因此C的税前收益减少为4.8%时,即0.024已经小于0.02444,投资方案应改变。

3、某公司有三个加工厂,某月公司接到4份分别来自于A,B,C,D客户的订单依次为15,17,22,12件,三个加工厂开工费用(固定值,与生产量无关)和生产量及各加工厂的至各个客户的每件运输费用如下面两个表格所示,请制定生产和运输费用,使得总费用最小。

单件运输费用(元)基本模型决策变量:设A、B、C、D四个客户分别给每个工厂的分配变量为A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2、D3。

目标函数:设生产与运输总费用为W(元),开工费用为W1(元),运输费用为W2(元),W=W1+W2。

约束条件:开工费用:根据每个工厂生产量及A、B、C、D四个客户的订单总量66件,可判断至少有两个工厂要开工,即W1至少是两个工厂开工费用的总和。

运输费用:根据已有的费用关系可有以下关系,W2=6×A1+4×A2+8×A3+2×B1+9×B2+8×B3+6×C1+5×C2+C3+7×D1+3×D2+5×D3订单量:根据要求有,A1+A2+A3=15,B1+B2+B3=17,C1+C2+C3=22,D1+D2+D3=12工厂生产量:根据要求有,A1+B1+C1+D1≤39,A2+B2+C2+D2≤35,A3+B3+C3+D3≤31非负约束:每个客户分配给每个工厂的分配额不能取负值且为整数。

模型求解:上述决策可分为两部分实现:一、只开两个工厂时的最优决策;二、三个工厂一起开工的最优决策。

一、只开两个工厂1、只开工厂一、工厂二根据已知条件有:A3=B3=C3=D3=0,A1+A2=15B1+B2=17C1+C2=22D1+D2=12A1+B1+C1+D1≤39A2+B2+C2+D2≤35W1=91+70=161W2=6×A1+4×A2+2×B1+9×B2+6×C1+5×C2+7×D1+3×D2将上述的W2变为如下式子W2=6×A1+4×(15-A1)+2×B1+9×(17-B1)+6×C1+5×(22-C1)+7×D1+3×(12-D1)=2×A1-7×B1+C1+4×D1+359 即变为如下条件W=W1+W2=2×A1-7×B1+C1+4×D1+520A1+B1+C1+ D1≤39A1+B1+C1+ D1≥310≤A1≤150≤B1≤170≤C1≤220≤D1≤12用LINGO软件求解,程序如下:此种情况下为A1=0,B1=17,C1=14,D1=0,A2=15,B2=0,C2=8,D2=12,A3=B3=C3=D3=0,W=4152、只开工厂二、三根据已知条件有:A1=B1=C1=D1=0,A2+A3=15B2+B3=17C2+C3=22D2+D3=12A2+B2+C2+D2≤35A3+B3+C3+D3≤31W1=70+24=94W2=4×A2+8×A3+9×B2+8×B3+5×C2+C3+3×D2+5×D3将上述的W2变为如下式子W2=4×A2+8×(15-A2)+9×B2+8×(17-B2)+5×C2+22-C2+3×D2+5×(12-D2) =-4×A2+ B2+4×C2-2×D2+338 即为W=W1+W2=-4×A2+ B2+4×C2-2×D2+432 A2+B2+C2+ D2=35 0≤A2≤15 0≤B2≤17 0≤C2≤22 0≤D2≤12用LINGO软件求解,程序如下:此种情况下为:A2=15,B2=8,C2=0,D2=12,A3=0,B3=9,C3=22,D3=0,A1=B1=C1=D1=0,W=356 3、只开工厂一、三根据已知条件有:A2=B2=C2=D2=0,A1+A3=15B1+B3=17C1+C3=22D1+D3=12A1+B1+C1+D1≤39A3+B3+C3+D3≤31W1=91+24=115W2=6×A1+8×A3+2×B1+8×B3+6×C1+C3+7×D1+5×D3将上述的W2变为如下式子W2=6×A1+8×(15-A1)+2×B1+8×(17-B1)+6×C1+22-C1+7×D1+5×(12-D1) =-2×A1-6×B1+5×C1+2×D1+338即为W=W1+W2=-2×A1-6×B1+5×C1+2×D1+453 A1+B1+C1+ D1≤39 A1+B1+C1+ D1≥35 0≤A1≤15 0≤B1≤17 0≤C1≤22 0≤D1≤12用LINGO软件求解,程序如下:此种情况下为:A1=15,B1=17,C1=0,D1=3,A3=0,B3=0,C3=22,D3=9,A2=B2=C2=D2=0,W=327 二、三个工厂同时开根据已知条件有:A1+A2+A3=15B1+B2+B3=17C1+C2+C3=22D1+D2+D3=121≤A1+B1+C1+D1≤391≤A2+B2+C2+D2≤351≤A3+B3+C3+D3≤31W1=91+70+24=185W2=6×A1+4×A2+8×A3+2×B1+9×B2+8×B3+6×C1+5×C2+C3+7×D1+3×D2+5×D3将上述的W2变为如下式子W2=6×A1+4×A2+8×(15-A1-A2)+2×B1+9×B2+8×(17-B1-B2)+6×C1+5 ×C2+22-C1-C2+7×D1+3×D2+5×(12-D1-D2) =-2×A1-4×A2-6×B1+ B2+5×C1+4×C2+2×D1-2×D2+338即为W=W1+W2=-2×A1-4×A2-6×B1+ B2+5×C1+4×C2+2×D1-2×D2+5231≤A1+B1+C1+ D1≤391≤A2+B2+C2+ D2≤3531≤A1+B1+C1+ D1+ A2+B2+C2+ D2≤650≤A1+ A2≤150≤B1+B2≤170≤C1+C2≤220≤D1+ D2≤12用LINGO软件求解,程序如下:此种情况下为:A2=15,B1=17,C3=22,D2=12,其余均为0,W=337结果分析从上面的求解中可以得出最优解为只开工厂一、三,此时的总费用最少为327,最终的决策为:工厂一加工客户A和B的所有订单以及D客户的3件,工厂三加工D客户的9件。

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