第六章线性空间.设M N ,证明：M N M , M N N。

1证任取M , 由 M N ,得N , 所以M N , 即证 M N M 。

又因M N M , 故M NM 。

再证第二式，任取M或N , 但 M N , 因此无论哪一种情形，都有N , 此即。

但N M N , 所以 M N N 。

2.证明 M ( NL ) (M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) (M L ) 。

证x M (N L), 则x M 且 x NL. 在后一情形，于是x M N或 x M L.所以 x (M N )(M L) ，由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。

反之，若x (M N ) ( M L) ，则 x M N或x M L. 在前一情形， x M , x N , 因此x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形，因而x M , x L, x N L ，得x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。

若x M （NL），则xM ，x N L 。

在前一情形 X x M N，且 X ML，因而 x（ MN）（ M L）。

在后一情形， xN ,x 因而x M N ,且X M，即 X （ M N）（M L）所以L, L（M N）（M L） M （N L）故M （NL） =（）（M L）M N即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设 A 是一个 n× n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：（ a1，b1）（ a b （ a1a2，b1b2a1 a2）（kk 1） 2k。

（ a1， b1） =（ ka1，kb1+ a126） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k a 0 ； 7） 集合与加法同 6），数量乘法定义为：k a a ；8） 全体正实数 r ，加法与数量乘法定义为：a b ab ， ka a k ；解 1）否。

因两个 n 次多项式相加不一定是 n 次多项式，例如（ x n 5）（ x n 2） 3 。

2）令 V={f （A ） |f （ x ）为实数多项式， A 是 n × n 实矩阵 }因为f （ x ） +g （ x ） =h （ x ）， kf （ x ） =d （ x ） 所以f （ A ） +g （A ）=h （ A ）， kf （ A ） =d （ A ）由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 1~8 条，故 v 构成线性空间。

3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 1~8 条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。

下面仅对反对称矩阵证明： 当 A ， B 为反对称矩阵， k 为任意一实数时，有（ A+B ） =A+B =-A-B=- （ A+B ）， A+B 仍是反对称矩阵。

（ K A ） K A （K ）A （ ）K ，A 所以 kA 是反对称矩阵。

故反对称矩阵的全体构成线性空间。

4）否。

例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。

5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足， （0，0）是零元，任意（ a ， b ）的负元是 2（-a ， a -b ）。

对于数乘：。

（ ， ）（。

，。

1(1 1) a 2) (a, b), 1 a b 1 a 1 b2 k.(l .(a, b) k.(la , lb l (l 1) a 2 ) (kla ,k[l b l (l 1) a2] k (k 1) (la)2 ) 2 2 2(kla, k[lb l (l 1) a 2 ] k (k 1) (la)2 ) (kla, kl ( kl 1) a 2 k( k 1) (la )2 ) 2 2 2 2 (kla, kl (kl 1) a 2 klb) (kl ).(a, b),2 l ) a, ( k l )(k l 1) a 2 (k l ).( a, b) [( k (k l )b ] 2k.(a,bl .(a,b) (ka, kb k( k 1) a 2 ) (la,lb l1) a 2) (l2 2 (ka la, kb k( k 1)a2k (k1)a2kla2 )2 2[( k l )a, (k1)(k l1) a2( k l )b] .2即 ( k l ) (a,b) k ( a,b) l (a, b) 。

k [( a1 , b1 ) (a2 ,b2 )] k( a1a2 , b1 b2a1a2 )＝ [k (a1 a2 ), k(b1 b2a1 a2k( k 1) (a1a2 )2 )] ，2 k ( a1, b1 ) k (a2 , b2 )k(k ＝ (ka1 ,kb12 ＝(ka1 ka2 ,kb1＝ (k (a1a2 ),k(b1＝ (k (a1a2 ), k (b11) a12 ) (ka 2 ,kb2k(k 1) a22 )2k( k 1) a12 kb2k (k 1)a22k 2 a1a2 )2 2b2a1a2 )k(k 1)a12k( k 1)a22k 2 a1a2 k a1a2 )2 2b2a1a2 )k (k 1)( a12 a22 )2 ) ，2即k (a1,b1 ) (a2 , b2 ) k (a1, b1 ) k (a2 ,b2 ) ，所以，所给集合构成线性空间。

6）否，因为 1 0. 。

7）否，因为 ( kl ) , k l 2 , 所以( k l ) ( k ) (l ) ，所给集合不满足线性空间的定义。

8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足i )a b ab ba b a;ii )(a b) c (ab) c abc a (bc)iii )1是零元： a 1 a1 a;iv ) a的负元是1 :a 1 a 11,且1a a a a v)1 a a1a;vi )(k (l a)) k (a l ) ( a l )kalkaklvii )(kl ) a a k l a k a l(ka) (la ) ;viii )k (a b)k (ab)( ab)k a k b ka(b c);a 1;(kl ) a;( k a) (k b).所以，所给集合R 构成线性空间。

4 在线性空间中，证明：1） k 0 0 2） k( ) k k 。

证 1） k 0 k( ( )) k k( ) k k( 1) (k ( k )) 0 0 。

2）因为 k ( ) k k ( ) k ,所以 k( ) k k 。

5 证明：在实函数空间中，1， cos2 t, cos2t 式线性相关的。

证因为 cos 2 2cos2t1 2t,cos2t式线性相关的。

t ，所以 1，cos6如果 f1 ( x), f 2 (x), f 3 (x) 是线性空间 P[ x] 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。

证若有不全为零的数 k1 , k2 , k3使 k1 f1 ( x) k2 f2 (x) k3 f3 (x)0 ，不妨设 k10, 则 f 1( x) k2 f 2 (x) k3f 3 ( x) ，这说明 f 2 ( x), f 3 ( x) 的公因式也是f1 (x)k1k1的因式，即 f1 (x), f 2 ( x), f 3 ( x) 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以f1 (x), f2 ( x), f 3 ( x) 线性无关。

7 在 P 4中，求向量在基 1 , 2 , 3 , 4下的坐标。

设1）1(1,1,1,1), 2(1,1, 1, 1), 3(1, 1,1 1), 4(1, 1, 1,1), (1,2,1,1) ；2）1(1,1,0,1), 2 (2,1,3,1), 3 (1,1,0,0), 4 (0,1, 1, 1), (0,0,0,1) 。

a b c d 1解 1）设有线性关系 a 1 b 2 c 3 d 4a b c d 2 ，则b c d，a 1a b c d 1可得在基1, 2 , 3, 4下的坐标为a5 ,b 1 , c 1 ,d 1 。

4 4 4 4a 2bc 02）设有线性关系 a 1 b 2 c 3 da b c d 0 4，则，3b da b d 1可得在基1, 2 , 3 , 4下的坐标为 a 1, b 0, c 1, d 0 。

8 求下列线性空间的维数于一组基： 1）数域P 上的空间 P n n ； 2）P n n中全体对称（反对 称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间； 3)第 3 题 8)中的空间 ;4)实数域上由矩阵 A 的全1 0 0 1 3i体实系数多项式组成的空间 ,其中 A= 0 0 ,。

0 0 2 2解 1) P n n 的基是 E ij}( i , j 1,2,..., n), 且dim( P n n ) n 2 。

...... ... ... 1 ... 2) i) 令 F ij ... ... ， 即 a ij aji 1, 其 余 元 素 均 为 零 , 则 ... 1 ... ... ...... ...F 11 ,...,F 1n , F 22 ,..., F 2 n ,...,F nn 是对称矩阵所成线性空间 M n 的一组基 , 所以 Mn 是 n( n 1) 维的。

2...... ... ...1 ...ii) 令 G ij ... ... ， 即 a ij aji 1, (i j), 其 余 元 素 均 为 零 , 则... 1 ... ... ...... ...G 12 ,...,G 1n,G 23 ,...,G 2n ,...,G n1,n 是反对称矩阵所成线性空间S n 的一组基 , 所以它是n( n 1) 维的。

2 iii) E 11 ,...,E 1n, E 22 ,..., E 2n ,..., E nn 是上三角阵所成线性空间的一组基 ,所以它是 n( n 1)2维的。

3)任一不等于 1 的正实数都是线性无关的向量 ,例如取 2，且对于任一正实数a ,可经 2 线性表 出，即 . a (log 2 a) 2 ,所以此线性空间是一维的，且 2 是它的一组基。