第五章二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

1）4 x 1 x 22 x 1 x3 2x 2 x 3 ；2） x 12 2 x 1 x 2 2x 22 4x 2 x 3 4x 32 ；3） x 12 3x 22 2x 1 x 22x 1 x 3 6x 2 x 3 ；4） 8x 1 x 4 2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4 ；5） x 1 x 2x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4x 3 x 4 ；6） x 12 2 x 22 x 42 4x 1 x 2 4x 1 x 3 2x 1 x 4 2x 2 x 3 2x 2 x 4 2 x 3 x 4 ；7） x 2x 2x 2 x 22x 1x2 2x 2 x3 2x x4 。

12343解1）已知f x 1 , x 2 , x 3 4x 1 x 2 2x 1x 3 2x 2 x 3 ，先作非退化线性替换x 1 y 1 y 2x 2 y 1 y 2（ 1）x 3y 3则f x 1 , x 2 , x 34 y 12 4y 22 4 y 1 y 34y 2 4y yy 2 y 2 4y211 33322 y 1 3y 32 4 y 22 ，y 3再作非退化线性替换y 11z 1 1z 32 2y 2z 2（ 2）y 3 z 3则原二次型的标准形为f x 1 , x 2 , x 3z 12 4z 22 z 32 ，最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为x 11z 1 z 2 1z 32 2x 21 z2 1 （ 3）z 1 z 32 2 x 3z 3于是相应的替换矩阵为1 01 1 0 11 1 02 222T1 1 0 1 1 1 10 0 2 ，1 0 0 121且有1 0 0 T AT0 4 0 。

0 12 ）已知 f x 1 , x 2 , x3 x 12 2x 1 x 2 2x 224 x 2 x 3 4x 32 ，由配方法可得f x , x , xx 2 2x x2x 2x 24x x34x 2123112223x 1 x 22x 2 2x 32 ，于是可令y 1 x 1 x 2 y 2 x 2 2x 3 ，y 3x 3则原二次型的标准形为f x , x 2 , x3 y 2 y 2 ，112且非退化线性替换为x1 y1 y2 2 y3x2 y2 2y3 ，x3 y3相应的替换矩阵为1 1 2T 0 1 2 ，0 0 1且有1 0 0 1 1 0 1 12 1 0 0T AT 1 1 0 1 2 2 0 1 2 0 1 0 。

2 2 1 0 2 4 0 0 1 0 0 0（ 3）已知f x , x , x3 x 2 3x 2 2x1x22x x36x x ，1 2 1 2 1 2 3由配方法可得f x1 , x2 , x3 x12 2x1 x2 2x1 x3 2x2 x3 x22 x32 4x22 4x2 x3 x32x1 x2 x3 2 2x2 x3 2 ，于是可令y1 x1 x2 x3y2 2x2 x3 ，y3 x3则原二次型的标准形为f x1 , x2 , x3 y12 y22，且非退化线性替换为x1 y1 1y23y3 2 2x2 1 y2 1 y3 ，2 2x3 y3相应的替换矩阵为1 3 12 211T 0，2 20 0 1且有1 131 0 0 1 1 1 22 1 0 0111 33 011 0 1 0 。

T AT2 22 2130 00 03 1 1 0122（ 4）已知 f x 1 , x 2 , x 3 , x 48x 1 x 2 2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4 ，先作非退化线性替换x 1 y 1 y 4x 2 y 2 x 3y 3x 4 y 4则，f x , x 2, x , x48y y48 y22 y 3y4 2y 2y3 8 y 2y413 1 428 y 422 y 41y 11y 2 1y 3 1y 1 1 y 2 1y 32282 2 88 1 y 11y 21y 322 y 2 y 322 88 1 y 11y 21y 321y 32y 42 y 1 y 22 y 2 y3 ，228 4再作非退化线性替换y 1 z 1y 2z 2 z3 ，y 3 z 2 z 3y 4z 4则8 1 z 15z 225z 22f x 1 , x 2 , x 3 , x 4 3z 3 z 42 z 13z 32 88 442z 222z 32 ，再令w 1z 1 5x 2 3x 34 4w 2 z 2，w 3 z 3w 41 5 3 z 1z 2z 3 z 4288则原二次型的标准形为f x 1 , x 2 , x 3 , x 42w 12 2w 22 2w 32 8w 42 ，且非退化线性替换为153x 1 2w14w24w 3w4x 2 w 2 w 3，x 3 w 2 w 3 x 41 w 1 w 42相应的替换矩阵为1 5 3 12 4 4 0 0 1 1 T1 1 ，0 0 1 012且有2 0 0 0 0 2 0 0T AT0 2 。

0 0 00 8（ 5）已知 f x 1 , x 2 , x 3 , x 4x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 ，先作非退化线性替换x 1 2 y 1 y 2 x 2 y 2，x 3 y 3 x 4y 4则f x 1 , x 2 , x 3 , x 42 y 1 y 2 y 222 y 1 y3 2 y 2 y 32 y 1 y 4 2y 2 y 4 y3 y 423y 42y 1y 2y 3y 42 y 31y 4y 12 ，24再作非退化线性替换z 1 y 1 z 2 y 1 y 2 y 3 y 4z 3y 3 1 y ，42z 4y 4即y 1 z 1y 2z 1 z 2 z 3 1 z 42，1z 4y 3z 32y 4z 4则原二次型的标准形为f x 1 , x 2 , x 3 , x 4z 12z 22z 323z 42 ，4且非退化线性替换为x 1 z 1 z 2z 31z 42x 2z 1 z 2 z 31z 4，12x 3 z 3 z 4 2 x 4z 4相应的替换矩阵为1 1 1 1 2T1 1 112 ，0 0 1120 0 0 1且有1 0 0 0T AT 0 1 0 00 0 1 0 。

0 0 034（ 6）已知f x1 , x2 , x3 , x4 x12 2x22 x42 4x1x2 4x1x3 2x1 x42x2 x3 2x2 x4 2x3 x4，由配方法可得f x1 , x2 , x3 , x4 x 2 2x 2x2 2x3x 2x22x x 21 1 4 3 42x2 2x3 x4 2 2x22 x42 2 x2 x3 2x2 x4 2x3 x43 1 21x1 2x2 2x3 x4 22 x22，2x3 2x4 2x3 x4于是可令y1 x1 2x2 2x3 x4y2 x2 3x31x4，2 2y3 x3 x4y4 x4则原二次型的标准形为f y12 2 y221y32，2且非退化线性替换为x 1 y 1 2y 2 y 3 y 4x 2y 2 3y 3 y 4 ，2 x 3y 3 y 4x 4y 4故替换矩阵为1 21 10 13 1T2，0 0110 01且有10 0 0 T AT2 0 00 01 0 。

2（ 7）已知 f x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x 12 x 22 x 32 x 42 2x 1 x 22x 2 x 3 2x 3 x 4 ，由配方法可得f x 1 , x 2 , x 3 , x 4x 22 2x 2 x 1x 3x 122x 1x 3 2x 3 x 4 x 42x 3x 1 x 2 x 3 22 x 1 x 3x 32 2x 3 x 4 x 42x 32x 1 x 2 x 3 2x 3 x 4 2 2x 1 x 3x 32 x 12 x 12x 2x x2 x2x3x2x x2 ，113413于是可令y 1 x 1y 2x 1 x 2 x3 ，y 3 x 3 x 4y 4x 1 x 3则原二次型的标准形为fy 12 y 22 y 22 y 42 ，且非退化线性替换为x 1 y 1x 2 y 2 y 4，x 3 y 1 y 4x 4y 1 y 3 y 4相应的替换矩阵为1 0 0 0 0 1 0 1 T0 0 ，1 1 10 11且有1 0 0 0 0 1 0 0T AT0 1 。

0 0 0 0 01（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。

解 1 ）已求得二次型f x 1 , x 2 , x 34x 1x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3的标准形为fy 12 4 y 22 3y 32 ，且非退化线性替换为x 11y 1 y 2 1y 322x 21y 1 y 2 1y 3 ，2 2x 3y 3（ 1） 在实数域上，若作非退化线性替换y 1 z 3 y 21z 2 ，2 y 3z 1可得二次型的规范形为f z12 z22 z32。

（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换y1 iz1y2 1z2，2y3 z1可得二次型的规范形为f z12 z22 z32。

2）已求得二次型f x1 , x2 , x3 x12 2x1 x2 2 x22 4x2 x3 4x32 的标准形为f y12y22，且非退化线性替换为x1 y1 y2 2 y3x2 y2 2 y3 ，x3 y3故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形f y12y22。

3）已求得二次型f x1 , x2 , x3x123x222x1 x22x1 x36x2 x3的标准形为f y12y22，且非退化线性替换为x 1 y 11 y2 3y 322 1 y 2 1 x 2 y3 ， 2 2 x 3 y 3（ 1） 在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即fy 12y 22 。

（ 2） 在复数域上，若作非退化线性替换y 1 z 1y 2 iz 2 。

y 3z 3可得二次型的规范形为fz 12z 22 。

（ 3） 已求得二次型f x 1, x 2 , x 3 , x 4 8x 1x 22x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4的标准形为f2 y 2 2 y 2 2y 2 8 y 2 ，1234且非退化线性替换为153x 12y14y24y 3y4x 2 y 2 y 3 ，x 3 y 2 y 3x 41 y 1 y 42（ 1） 在实数域上，若作非退化线性替换1y1z41y2z22，1y3z31y4z12 2可得二次型的规范形为f z2 z 2 z2 z 2 。