q 1 ；而当
q 1 p）可得 q 1 。
m0
综上所诉，当
p q1
或
p
q1 m2
时，皆有
2
x2
mx
1| x4
px 2
q。
3．求 g( x) 除 f ( x) 的商 q( x) 与余式：
1） f ( x) 2x5 5x3 8x, g( x) x 3 ；
2） f ( x) x3 x2 x, g(x) x 1 2i 。
3） 由综合除法，可得 x4 2ix 3 (1 i )x2 3x (7 i ) (7 5i ) 5(x i ) ( 1 i )(x i )2 2i (x i )3 (x i )4 。
5．求 f ( x) 与 g ( x) 的最大公因式：
1） f ( x) x4 x3 3x2 4x 1,g (x) x3 x2 x 1； 2） f ( x) x4 4 x3 1,g ( x) x3 3x2 1；
q( x) 2x4 6x3 13x2 39x 109
解 1）
；
r ( x) 327
q( x) x2 2ix (5 2i)
2）
。
r (x) 9 8i
4．把 f ( x) 表示成 x x0 的方幂和，即表成
c0 c1 (x x0) c2 ( x x0 )2 ... cn (x x0 )n
的形式：
1） f ( x) x5, x0 1 ；
1） f ( x) x 3 3x 2 x 1, g( x) 3x 2 2x 1；
2） f ( x) x 4 2x 5, g( x) x 2 x 2 。
解 1）由带余除法，可得
q(x)
1 x
7 , r (x)
39
26 x
2
；
99
2）同理可得 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 。
2． m, p, q 适合什么条件时，有
式，求 t, u 的值。
解
f (x)
因为
q1( x)g ( x)
r1( x)
(x3
tx 2
u)
( x2
2 x u)
，
g (x) q2 (x)r1 ( x) r2 (x)
(x (t 2))( x2 2 x u) (u 2t 4)x u(3 t ) ，
且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式
r2( x) 为 0，即
g( x) q2( x)r1(x) r2( x)
解得 r2 ( x) g( x) q2 ( x) r1( x) g (x) q2( x)[ f ( x) q1( x) g(x)] ， [ q2 ( x)] f ( x) [1 q1 (x)q2 (x)] g( x)
u( x)
于是
q2( x)
x1
。
v( x) 1 q1(x)q2 (x) 1 1 ( x 1) x 2
高等代数（北大 * 第三版）答案
目录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
第八章
第九章 第十章
多项式 行列式 线性方程组
矩阵 二次型 线性空间 线性变换
—矩阵
欧氏空间 双线性函数与辛空间
注： 答案分三部分， 该为第一部分 ，其他请搜索， 谢
谢！
第一章 多项式
1． 用 g( x) 除 f ( x) ，求商 q(x) 与余式 r ( x) ：
1） x2 mx 1| x3 px q ，
2） x2 mx 1 | x 4 px2 q 。
解 1）由假设，所得余式为 0，即 ( p 1 m2 ) x (q m) 0 ，
所以当
p 1 m 2 0 时有 x 2 mx 1 | x3 qm 0
px q 。
2 ）类似可得
m(2
p
m2 )
0
，于是当
m
0 时，代入（ 2）可得 p
( x) | d( x) 。 由于 d (x) 是 f (x) 与 g( x) 的一个组合，这就是说存在多项式 s( x) 与 t ( x) ，使
d ( x) s(x) f ( x) t (x)g( x) ， 从而由 (x) | f ( x), (x) | g( x) 可得 ( x) | d( x) ，得证。
3） f ( x) x4 10 x2 1, g (x) x4 4 2x3 6x2 4 2x 1。
解 1） ( f ( x), g( x)) x 1；
2） ( f (x), g( x)) 1； 3） ( f (x), g( x)) x2 2 2x 1。 6．求 u( x), v(x) 使 u(x) f ( x) v( x)g( x) ( f ( x), g ( x)) 。 1） f ( x) x4 2 x3 x2 4x 2, g( x) x4 x3 x2 2 x 2 ； 2） f ( x) 4 x4 2 x3 16x2 5x 9, g ( x) 2x3 x2 5x 4 ； 3） f ( x) x4 x3 4x2 4x 1,g ( x) x2 x 1 。 解 1）因为 ( f (x), g (x)) x2 2 r2( x) 再由 f ( x) q1( x) g(x) r1( x) ，
2） f ( x) x4 2 x2 3, x0 2 ；
4
3
2
3） f ( x) x 2ix (1 i ) x 3x 7 i , x0 i 。
解 1）由综合除法，可得 f ( x) 1 5(x 1) 10(x 1)2 10(x 1)3 5(x 1)4 ( x 1)5 ；
2）由综合除法，可得 x4 2x2 3 11 24(x 2) 22(x 2)2 8(x 2)3 (x 2)4 ；
(u 2t 4) 0
，
u(3 t ) 0
从而可解得 u1 0 或 t1 2
u2
2
。
t2 3
８．证明：如果 d( x) | f (x), d (x) | g (x) ，且 d( x) 为 f ( x) 与 g( x) 的组合，那么 d (x) 是 f ( x)
与 g( x) 的一个最大公因式。
证 易见 d ( x) 是 f ( x) 与 g( x) 的公因式。另设 ( x) 是 f ( x) 与 g( x) 的任一公因式，下证
2）仿上面方法，可得 ( f (x), g(x)) x 1，且 u( x)
1 x 1 , v( x) 2 x2 2 x 1。
33
33
3）由 ( f (x), g( x)) 1 可得 u(x) x 1,v( x) x3 x2 3x 2 。
７．设 f (x) x3 (1 t )x2 2x 2u 与 g (x) x3 tx2 u 的最大公因式是一个二次多项