第七章线性变换1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）在P[x ]中，A),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数；7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。

8）在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。

7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。

8)是，因任取二矩阵YX ,n n P ⨯∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，A (k X )=k BXC k kXB ==)()(A X ，故A 是nn P⨯上的线性变换。

2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换，证明：A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2，并检验(AB )2=A 2B 2是否成立。

解任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为A a=(x,-z,y),A 2a=(x,-y,-z)，A 3a=(x,z,-y),A 4a=(x,y,z)， B a=(z,y,-x),B 2a=(-x,y,-z)，B 3a=(-z,y,x),B 4a=(x,y,z)， C a=(-y,x,z),C 2a=(-x,-y,z)，C 3a=(y,-x,z),C 4a=(x,y,z)， 所以A 4=B 4=C 4=E 。

2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y)，BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以AB ≠BA 。

3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以A 2B 2=B 2A 2。

3) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)，A 2B 2(a)=(-x,-y,z)， 所以(AB )2≠A 2B 2。

3.在P[x]中，A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f =，证明:AB-BA=E 。

证任取∈)(x f P[x]，则有(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f 所以AB-BA=E 。

4.设A,B 是线性变换，如果AB-BA=E ，证明：A kB-BA k=k A 1-k (k>1)。

证采用数学归纳法。

当k=2时A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a ，结论成立。

归纳假设m k =时结论成立，即A m B-BA m =m A 1-m 。

则当1+=m k 时，有A1+m B-BA 1+m =(A1+m B-A m BA)+(A m BA-BA1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A1-m A=)1(+m A m 。

即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立。

5.证明：可逆变换是双射。

证设A 是可逆变换，它的逆变换为A1-。

若a ≠b ，则必有A a ≠A b ，不然设Aa=A b ，两边左乘A 1-，有a=b ，这与条件矛盾。

其次，对任一向量b ，必有a 使A a=b ，事实上,令A1-b=a 即可。

因此,A 是一个双射。

6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。

证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关。

证因A (1ε,2ε, ,n ε)=(A 1ε,A 2ε, ,A n ε)=(1ε,2ε, ,n ε)A ，故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆，而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关，故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.。

7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵；2) [o;1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影，求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵； 3) 在空间P [x]n 中，设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→， 试求A 在基i ε=!1)1()1(i i x x x +-- (I=1,2, ,n-1)下的矩阵A ； 4) 六个函数1ε=eaxcos bx ,2ε=eaxsin bx ，3ε=x e axcos bx ,4ε=x eaxsin bx ，1ε=221x e ax cos bx ,1ε=21e ax 2x sin bx ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D 在基i ε(i=1,2, ,6)下的矩阵；5) 已知P 3中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121011101，求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 6) 在P 3中，A 定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(321ηηηA A A ， 其中⎪⎩⎪⎨⎧-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(321ηηη， 求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 7) 同上，求A 在1η,2η,3η下的矩阵。

解1)A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε，A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε，A 3ε=(0,1,0)=2ε，故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001110012。

2）取1ε=（1，0），2ε=（0，1），则A 1ε=211ε+212ε，A 2ε=211ε+212ε，故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21212121。

又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε，所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000，另外，（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=211ε+212ε，所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210210。

3）因为)!1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n εεεε， 所以A 0110=-=ε，A 01)1(εε=-+=x x ， A )!1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=-n n x x x n n x x x n ε=)!1()]3([)1(----n n x x x {)]2([)1(---+n x x }=2-n ε，所以A 在基0ε,1ε, ,1-n ε下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010 。

4）因为D 1ε=a 1ε-b 2ε,D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε， D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε，所以D 在给定基下的矩阵为D =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000100001000010001a b b a a b b a ab b a。

5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211。

6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--012110301，所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--012110301,但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505， 故A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---717172717672737371=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----72471872772757472072075。