? 例如
y ? 5x ? 6 ? sin x8, 0 ? x ? 10?6
是实际问题的解，而若数学模型的解是 y ? 5x ? 6, 0 ? x ? 10?6 ,
由此产生的误差叫作模型误差。
?观测误差
? 数学模型中包含某些变量，如时间、长度、电压 等，它们一般是通过观测来获得。由于观测得到 的数据与实际数据之间有误差，这种误差叫 观测 误差。
§1.2 误差知识与算法知识
1.2.1 误差的来源与分类
在工程技术的计算中，估计计算结 果的精确度是十分重要的工作，而影响 精确度的是各种各样的误差。误差的来 源是复杂的，但主要有以下四种：
? 从实际问题中抽象出数学模型
—— 模型误差 ( Modeling Error )
? 通过测量得到模型中参数的值
1、采用“构造性”方法； 2、采用“离散化”方法； 3、采用“递推化”方法； 4、采用“近似代替”方法等等。
? 研究内容
? 线性方程组的数值解 ? 矩阵特征值与特征向量计算 ? 非线性方程的数值解 ? 数值逼近 ? 数值积分 ? 常微、偏微的数值解
? 研究方法
? 理论分析 ? 算法分析 ? 误差分析 ? 收敛性分析 ? 收敛速度
dx ?
? 取
1
e
?
x
2
dx
0
?
S4
,
S4
R4 ( Remainder )
则
R4
?
1 ?
4!
19由? 留51!下? 1部11 ?分?
称为截断误差
( Truncation Error ).
( included terms )
这里
R4
?
1 ? 1引?起0 .005
4! 9
由截去部分
11 1
( excluded terms )
提问：数值分析是做什么用的？
实际问题
构造数 学模型
上机计算 求出结果
程序设计
选择数值 计算方法
?任务：数值分析的任务是提供在计算 机上实际可行的，有可靠理论分析、 计算复杂性好的各种数值计算方法。 ?特点：数值分析是与计算机及其它科 学有密切关系的数学课程，因此它即 具有纯数学的高度抽象性与严密科学 性的特点，同时又具有应用广泛性与 数值试验的高度技术性，除此之外， 它还有以下几个基本特点：
?截断误差
? 求解数学模型所用的数值计算方法，如果是一种 近似的方法，只能得到模型的近似解，由此产生 的误差称为 截断误差 或方法误差。
?舍入误差
? 由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其 运算结果在计算机中存放会产生误差。这种误 差叫舍入误差或计算误差。
? 例如 在 16 位微机上计算，单精度实数存放仅有 7 位有效数字。在其上运算，会有 1 ? 3 ? 0.333 333 3, (1.000 002) 2 ? 1.000 004 ? 0, 后者的准确结果是 4 ? 10?12。
(Error and Significant Digits ) ? 定义 绝对误差 (absolute error)
e ? x ? x?
其中 x 为精确值， x* 为 x 的近似值。 |e|的上
界记为 e , 称为绝对误差限 (accuracy) ,工程上常记
为 x = x* ± e .
? 例如： 1 e ? x 2 dx ? 0.743 ? 0.006 0
—— 观测误差 ( Measurement Error )
? 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 ( Truncation Error ) )
? 机器字长有限 —— 舍入误差 ( Roundoff Error )
?模型误差
? 处理实际问题时，要建立数学模型，通常模型只 是近似的。由此产生的 数学模型解 与实际问题的 解 之间的误差叫 模型误差 。
数值分析
理学院
刘秀娟
第1章 绪论
§1.1 数值分析的研究对象
提问：数值分析是做什么用的？
? 数值分析是近代数学的一个重要分支，它是研究 各种数学问题的 数值解法，包括方法的构造和求 解过程的理论分析。
? 在电子计算机成为数值计算的主要工具之后，则 要求研究适合于计算机使用的数值计算方法，为 了更好地说明数值分析的研究对象，我们考察用 计算机解决科学计算问题时经历的几个过程：
乙，分别读出长度为 a=312mm 和 b=24mm ，
问：e(a)，e(b)，e r(a)，er(b)各是多少？两直杆的
实际长度 x 和 y 在什么范围内？
解： e (a) ? e (b) ? 0.5m m , e r(a) ? e (a) ? 0.5 ? 0.16%,
a 312
e r(b) ? e (b) ? 0.5 ? 2.08%,
S4 ? 1?
? 3
10
?
42
? 1 ? 0 .333
? 0 .1 ? 0 .024
? 引0 .起743
| 舍入误差 ( Roundoff Error ) | ? 0.00x
2
dx
的总体误差
0
? 0.005 ? 0 .001 ? 0 .006
1.2.2 绝对误差、相对误差与有效数字
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？
? 例如： 有两个量
x ? 10 ? 1 , y ? 1000 ? 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
?定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
er
?
e x
?
x ? x? . x
?由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x?
作为 x *的
相对误差，并且仍记为 er , 即
er ?
e x? .
?定义 近似值 x* 的相对误差上限 (界) (relative accuracy)
εr
?
|
ε x?
|.
注: 相对误差一般用百分比表示 .
例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
? 例 :近似计算 1 e ? x 2 dx = 0.747… … 0
? 解法之?01 一e ? 大：x 2 d家x将一1??e1/??起xe01?2作(猜113?T?？?axy212l!o??r01展125xe4!??开?x321后!dx3?x!6再71? 积?x?4!分481!?1? ?19
) ?
b 24 311 .5m m ? x ? 312 .5m m, 23.5m m ? y ? 24.5m m