f '' ( )( x xk )2 x xk ' f ( xk ) 2 f ' ( xk )
22
f xk
3.5.1 Newton迭代法公式和收敛性 (2)

其中 在x*与xk之间。 略去最后一项，右端为x*的一个新的近似值，记为 xk+1:
f ( xk ) xk 1 xk ' f ( xk )

为求解方程 f(x)=0 的根 x＊，假设

有一个近似值 xk ≈ x＊ f ’’存在且连续

因 f (x*)=0, 则：
f '' ( ) f ( x ) f ( xk ) f ' ( xk )( x xk ) ( x x k )2 2 若 f ' (x*) ≠0,
30
3.5.2 Newton 法的重根情形 (1)

设x*是方程f(x)=0的m重根，m>1,即

f (x) = (x-x*)m g(x) 其中g(x)有二阶导数，g(x*)≠0，重根情况下有 f ' (x*) =0 :
f ( x) ( x x ) g ( x) ( x) x ' x f ( x) mg ( x) ( x x ) g '( x) g ( x) ( x x ) g '( x) '( x) 1 mg ( x) ( x x ) g '( x) 1 ( x x ) g ( x)( )' mg ( x) ( x x ) g '( x)

有: f '(x*)=1-1/m 因m>1, 所以 f ' (x*)≠0 ，且 | f ' (x*) |<1 Newton法是收敛的，但只是线性收敛。
32


3.5.2 Newton 法的重根情形 (3)

第二种迭代方法：将迭代函数改取为
mf ( x) ( x) x ' f ( x)
7
3.2.1 二分法 (2)

区间中点序列｛xn}就是方程的根x*的近似解序列。
1 bn an n1 (b a) 2

而xn是[an,bn]的中点，所以有
1 1 | xn x | (bn an ) n (b a) 2 2
*
n
lim xn x*
8
3.2.1 二分法 (3)



3.1 引言 3.2 二分法和试位法 3.3 不动点迭代法 3.4 迭代加速收敛的方法 3.5 Newton 迭代法
17
3.4.1 Aitken加速方法 (1)

设 {xk} 线性收敛到 x*，记 ek = xk – x* ，有
lim

ek 1 ek
k
C,0 C 1
当ｋ充分大时有
即Newton迭代法的迭代公式
23
3.5.1 Newton迭代法公式和收敛性 (5)

Newton迭代法的几何解释：



求 x* 就是求曲线 y=f(x) 与x轴的交点。 在曲线 y=f(x) 上的点（xk,f(xk))上作曲线的切线， 切线方程为 y-f(xk)=f '(xk)(x-xk), 切线与x轴交点的横坐标就是 xk+1, 把它作为 x*新 的近似。 可以证明Newton迭代法是超线性收敛的。

可验证 f (x*) = x* , f (x*)=0
mf ( xk ) xk 1 xk ' , f ( xk )

k 0,1,
此种迭代至少有两阶收敛
33
3.5.2 Newton 法的重根情形 (4)

第三种迭代方法：

令 m (x) = f(x) / f '(x) 若x*是方程 f(x)=0 的m重根，则

若存在实数p≥1及非零常数C，使：
lim ek 1 ek
p x
C

则称 {xk} 为 p 阶收敛，C称为渐进误差常数。

当 p=1 时，称 {xk} 线性收敛 当 p>1 时，称 {xk} 超线性收敛 当 p=2 时，称 {xk} 平方收敛
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第三章：非线性方程的数值解法
数值方法
主讲：郭同彤 哈尔滨工业大学深圳研究生院 基础科学学科部
1
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第三章：非线性方程的数值解法



3.1 引言 3.2 二分法和试位法 3.3 不动点迭代法 3.4 迭代加速收敛的方法 3.5 Newton 迭代法
2
今日主题

第三章：非线性方程的数值解法



3.1 引言 3.2 二分法和试位法 3.3 不动点迭代法 3.4 迭代加速收敛的方法 3.5 Newton 迭代法
f(x)=(x2-2)2 f '(x)=4x(x2-2) f "(x)=4(3x2-2).

f ( xk ) 方法1（Newton法）： xk 1 xk f ' ( x ) k

即 20 次二分可满足要求
9
3.2.2 试位法

假设

已找到方程 f(x)=0 的一个有根区间 [a,b]； f(a)f(b)<0； 方程在区间 [a,b] 只有一个根。

试位法步骤：
取点（an, f(an)) 和（bn, f(bn)) 连线与x轴的交点，即
f (bn )(bn an ) xn bn f (bn ) f (an )

它是x*的一个新的近似值

从序列｛xk}, 用上式得到序列 { xk} 的方法， 称为Ａitken加速方法。
19
3.4.1 Aitken加速方法 (3)

可以证明，只要{xk}满足 且lim ek 1 , k e k
xk x , k 1, 2,

1

则序列 { xk }是完全确定的，而且有
27
3.5.1 Newton迭代法公式和收敛性 (9)

例

用Newton法计算方程 x3+4x2-10=0 在区间 [1，2] 的根，计算公式是
3 2 xk 4 xk 10 xk 1 xk , k 0,1, 2 3 xk 8 xk

取 x0=1.5 x1=1.3733333, x2=1.3652620, x3=1.3652300 Newton法是二阶的，所以收敛较快。
4
3.1 引言 (2)

设f(x)可分解为
f ( x ) ( x x* )m g ( x )

其中m为正整数， 函数g满足g(x*) ≠ 0。


则称x*是 f(x) 的 m重零点， 或x*是方程 f(x)=0 的m重根 。
5
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第三章：非线性方程的数值解法



3.1 引言 3.2 二分法和试位法 3.3 不动点迭代法 3.4 迭代加速收敛的方法 3.5 Newton 迭代法

例 4.2.1 X3-15x2+319=0，是否可以用二分法在 区间[5,10] 内求解，要求误差小于0.5∙10-5，需要 用二分法计算多少次？
设 f(x)=X3-15x2+319 => f(5)>0, f(10)<0 。 因此可以用二分法求解。


误差小于 0.5 ∙ 10-5，即
2 N ( 10 5 ) 0.5 10 5 6 N 19.9 lg 2
6
3.2.1 二分法 (1)

假设

已找到方程 f(x)=0 的一个有根区间 [a,b]； f(a)f(b)<0； 方程在区间 [a,b] 只有一个根。

二分法步骤：
令 [a1,b1]=[a,b] , 执行以下迭代步骤： 对于区间 [an,bn] , 其中点为 xn=1/2(an+bn)； 若 f(an)f(xn)<0 , 则将 [an+1,bn+1] 替换为 [an,xn]； 若 f(an)f(xn)> 0 , 则将 [an+1,bn+1] 替换为 [xn,bn]。
xk x* lim 0 k x x k

说明 ?
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第三章：非线性方程和方程组的数值解 法

3.1 引言 3.2 二分法和试位法 3.3 不动点迭代法 3.4 迭代加速收敛的方法 3.5 Newton 迭代法
Байду номын сангаас
21
3.5.1 Newton迭代法公式和收敛性 (1)
( x x* ) g ( x ) m ( x) mg ( x) ( x x* ) g '( x)

所以x*是方程 m(x)=0 的单根
34
3.5.2 Newton 法的重根情形 (5)

应用Newton法，迭代函数为：
m ( x) f ( x) f '( x) ( x) x x ' m '( x) [ f ( x)]2 f ( x) f ''( x)
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3.4.1 Aitken加速方法 (2)

定义差分记号，
xk xk 1 xk , 2 xk xk 2 2 xk 1 xk

写成
2 xk xk 2 xk 1 ( xk )2 xk xk 2 xk 2 2 x K 1 xk xk