概率论与数理统计练习题一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (BA)=，则P (A+B)=__ __。

2、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。

4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。

5. 设随机变量X 的概率密度是：⎩⎨⎧<<=其他103)(2x x x f ，且{}784.0=≥αX P ，则α= 。

6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (Y )= 3/4 。

7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2,13) 。

*8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=⋃)(B A P 。

9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。

10. 随机变量X 的概率密度函数1221)(-+-=x xe xf π，则E (X )= 1 。

11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,),(y x xy y x f ，则E (X )= 4/3 。

12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。

13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数644261)(+--=x x ex f π，则μ= 2 。

14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。

15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。

16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为31,41,51，则目标能被击中的概率是3/5 。

17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。

！18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望E X = 。

19. 设(X , Y )的联合概率分布列为－10 4 －2 1/9 1/3 ，2/911/18ab若X 、Y 相互独立，则a = 1/6 ，b = 1/9 。

20. 设随机变量X 服从[1，5]上的均匀分布，则{}=≤≤42X P 1/2 。

21. 设随机变量X ～N (1，4)，则{}2>X P ＝ 。

（已知=，=）22. 若随机变量X ～N (0，4)，Y ～N (－1，5)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝X ＋Y －3，则Z ～ N (－4，9) 。

23. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}423===X P X P ，则λ= 6 。

%24. 设随机变量X 的概率分布为X －1 0 1 2P、则{}12≥X P = 。

25. 设随机变量X 的概率密度函数1221)(-+-=x xe xf π，则)(X D =2126. 某人投篮，每次命中率为，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是14453.07.0⨯⨯C 27. 设随机变量X 的密度函数2)2(221)(+-=x e x f π，且{}{}c X P c X P ≤=≥，则c = -2 。

28. 随机变量)4,(~μN X ，则~2μ-=X YN(0,1) 。

29. 设随机变量X ～N (2，9)，且P{ Xa }= P{ X a }，则a ＝ 2 。

30. 称统计量θθ为参数ˆ的无偏估计量，如果)(θE = θ 二、选择题1．设随机事件A 与B 互不相容，且0)()(>>B P A P ，则（ D ）。

!Ａ. )(1)(B P A P -= B. )()()(B P A P AB P = Ｃ. 1)(=⋃B A P Ｄ. 1)(=AB P 2．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。

A. 2242B. 2412C C C. 24!2P D. !4!2 3．设随机变量)(~x f X ，满足)()(x f x f -=，)(x F 是x 的分布函数，则对任意实数a 有（ B ）。

A. ⎰-=-adx x f a F 0)(1)( B. ⎰-=-a dx x f a F 0)(21)( C. )()(a F a F =- D. 1)(2)(-=-a F a F4．设A ，B 为随机事件，0)(>B P ，1)|(=B A P ，则必有（A ）。

A. )()(A P B A P =⋃B. B A ⊃C. )()(B P A P =D. )()(A P AB P = 注：答案应该为A, 因B 不严谨，A 和B 可以相等。

5．设12, X X 是来自总体X 的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A )。

A. 121122X X μ=+ B. 121233X X μ=+ C. 121344X X μ=+ D.122355X X μ=+ ,6．、已知A 、B 、C 为三个随机事件，则A 、B 、C 不都发生的事件为（A ）。

A. C B AB. ABCC. A +B +CD. ABC7．),(Y X 是二维随机向量，与0),(=Y X Cov 不等价的是（ D ）A. )()()(Y E X E XY E =B. )()()(Y D X D Y X D +=+C. )()()(Y D X D Y X D +=-D. X 和Y 相互独立8．设总体)2,(~2μN X ，其中μ未知，n X X X ,,,21 为来自总体的样本，样本均值为X ，样本方差为2s ， 则下列各式中不是统计量的是（ C ）。

A. X 2B.22σs C.σμ-X D.22)1(σs n -9．若随机事件A 与B 相互独立，则)(B A P +＝（ B ）。

A. )()(B P A P +B. )()()()(B P A P B P A P -+C. )()(B P A PD. )()(B P A P + 10．若A 与B 对立事件，则下列错误的为（ A ）。

A. )()()(B P A P AB P =B. 1)(=+B A PC. )()()(B P A P B A P +=+D. 0)(=AB P。

11．设随机事件A 、B 互不相容，q B P p A P ==)( ,)(，则)(B A P ＝（ C ）。

A. q p )1(- B. pqC. qD.p12．设xx x n12,,, 是一组样本观测值，则其标准差是（ B ）。

A.∑=--ni ix x n 12)(11 B.∑=--n i i x x n 12)(11 C. ∑=-n i i x x n 12)(1 D. ∑=-n i i x x n 1)(1 13．设随机变量X ～N (μ，9)，Y ～N (μ，25)，记}5{},3{21+≥=-≤=μμY p X P p ，则（ B ）。

A. p 1<p 2 B. p 1＝p 2 C. p 1>p 2 D. p 1与p 2的关系无法确定 14．若事件321,,A A A 两两独立，则下列结论成立的是（ B ）。

A. 321,,A A A 相互独立B. 321,,A A A 两两独立C. )()()()(321321A P A P A P A A A P =D. 321,,A A A 相互独立15．设随机变量X N (4,9)，则（ ）{（A ）()2E X = （B ）()3D X = （C ）()9D X = （D ）以上都不是三、计算题1．已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,010 ,)(x x a x f求（1）a ；（2）X 的分布函数F (x )；（3）P ( X >。

解：102(1) () 1 33/2f x dx xdx a a +∞-∞====⎰⎰ 3/232020 ()()0 01 ()()1 ()() 1 xxxx F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞-∞-∞<==≤<===≥==⎰⎰⎰⎰（）当时，当时，当时，3/2 0, 0(), 011, 1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩故(3) P （X>1/4）=1—F(1/4)=7/8 2．已知连续型随机变量X 的分布函数为 [⎪⎩⎪⎨⎧>+=-其它,00,)(22x Be A x F x求（1）A ，B ； （2）密度函数f (x )；（3）P (1<X <2 )。

解：0(1) lim () 1lim ()0 1x x F x A F x A B B +→+∞→===+==-2/22, 0() ()0, 0x xe x f x F x x -⎧>⎪'==⎨≤⎪⎩（）(3) P （1<X<2）=F(2)—F(1)=22/1---e e3．设随机向量（X ，Y ）联合密度为f (x , y )= ⎩⎨⎧>>+-. ,0;0,0 ,)32(其它y x Ae y x（1） 求系数A ；（2） 判断X ，Y 是否独立，并说明理由；:（3） 求P{ 0≤X ≤2，0≤Y ≤1}。

解：（1）由1＝dy e dx eA dxdy eA dxdy y x f y xy x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞-+∞-+-+∞+∞+∞∞-+∞∞-⋅==0302)32(0),(＝,6)31)(21(0302A e e A yx=--+∞-+∞- 可得A ＝6。

（2）因（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度分别为f X (x )＝⎩⎨⎧>-. ,0; 0 ,22其它x e x 和 f Y (y )＝⎩⎨⎧>-. ,0;0 ,33其它y e y ， 则对于任意的,),(2R y x ∈ 均成立f (x , y )= f X (x )* f Y (y )，所以X 与Y 独立。

（3）P { 0≤X ≤2，0≤Y ≤1}＝dy e dx e dxdy e y x y x ⎰⎰⎰⎰--+-⋅=13202)32(201326＝).1)(1())((341322------=--e e eey x4．某车间生产滚珠，其直径X ～N (μ, ，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）：!若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径μ的置信度为的置信区间。