《概率论与数理统计》期末考试试题(A)
专业、班级: 姓名: 学号:
十二总成绩
、单项选择题(每题3分共18分)
1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 .
(1)
(2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2
P
则 P{X 1.5}()
(A) (B) 1 (C) 0 (D)
设事件A与A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是(
(A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2)
(C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2)
设随机变量X~N( 3, 1), Y 〜N(2, 1),且X 与Y相互独
7,贝y z~().
(A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0,
54).
(5)设 X1X2,
未知，贝U(
n
(A) X i2
i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。

(B)
(C) X (D)
(6)设样本X i,X2,
为H o：
(A)U
(C) 2)的一个简单随机样本，其中2,
,X n来自总体X ~ N(
0( 0已知)
(n 1)S2
2
二、填空题(每空3分
xe x 1. P(B) 2. f(x)
0 (1) 如果P(A) 0, P(B)
H1
：
(B)
(D) 共15分)
0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为
F(x)
则X的密度函数f(x)
3e
P(A)
n
(X i )
i 1
2), 2未知。

统计假设
则所用统计量为(
3
.
1 4.
则P(BA)
0,
1 (1 x)e x, x 0,
0.
n
(X i
1
P(X
设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本，丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本，则统计量
服从分布(要求给出自由度)。

t(9
)
2)
)2
X9是来自总体X的
X1
U肩
三、(6 分)设 A, B 相互独立，P(A) 0.7 , P(A B) 0.88，求 P(A B).
解：=P(A B) P(A) P(B) P (AB)
P(A) P(B) P(A)P(B) ( 因为A, B 相互独立)……..2分
求随机变量丫=2X+1的概率密度。

0 时，Y 1
解: 因为 y 2x 1是单调可导的,
故可用公式法计算 •….1分 2x 1，得 x
从而Y 的密度函数为 1
x'- 2
y 1 1 f(—)- 2 2
f Y (y)
•…..5分
0.7 P(B) 0.7 P(B)
.... 3分 P(B) 0.6
.. .4分
P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A) P(B)
0.7 0.7 0.6
0.28
... 6分
四、(6
分) 某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻 T ,各电梯在
运行的概率均为，求在此时刻至少有 1台电梯在运行的概率。

解: 用X 表示时刻T 运行的电梯数， 则X ~b(4, 0.7)
…...2分
所求概率
.... 4 ■分 五、 (6
分)设随机变量 C 0(0.7)0(1 0.7)4 =
.. .6分
X 的概率密度为f(x)
x
e 0,
x 0
其它
•….2分
六、(8 分)已知随机变量X和丫的概率分布为
(1)求随机变量X和丫的联合分布；
(2)判断X与丫是否相互独立
解：因为P XY 0 1，所以P XY 0 0... ..6 分
X 1 0 1
P
1 1 1
4 2 4
0} 1.
2 2 4
所以X与丫不相互独立
.... 8分而且P{ X
七、（8分）设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为
12e(3x4y) ,x 0,y 0,
f (x,
y) 0, 其他.
求：（1）P （0 X 1,0 Y 2）；
（2）
求X的边缘密
度。

解：（1）P（0 X 1,0 Y 2) 1 2
dx 12e
(3x 4
y)dy
•…..2分
'3e 3x dx 0 'e 4y dy =
0 J
e3x0 e4y2
=[1 e3][1 e8] (4)
(2) f x(x) 12e (3x4y)dy ... ..6 分
3e3x x 0
0 x 0
八、（6 分） 一工厂生产的某种设备的寿命 X （以年计）服从参数为
1
的指数分 4
布。

工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。

若工厂售出一台设 备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的 期望。

用丫表示出售一台设备的净盈利
解: 因为X ~ e(1)
得 f （X ）
1 _x
4
X 0
(2)
P(Y 100)
100 100 300
... 3分
200
1
1 x
^6 4dx 0
4
... ..4 分
所以
EY 100 e
200) (1
1
4
)
1
300e 4
200 33.64 (元)
... ..6 分
九、（8 分） 设随机变量X 与丫的数学期望分别为
2和2,方差分别为 1和4,
而相关系数为 0.5，求 E(2X Y), D(2X Y)。

解：已知EX
2, EY 2, DX 1, DY 4,
XY
0.5
则 E(2X Y) 2EX EY 2 ( 2) .. .4 D(2X Y)
D(2X) DY 2cov(2X,Y) .. .5 2DX DY 4 cov( X, Y) (6)
2DX DY 4VDXV57 XY
=12
.. ..8 分
十、（7 分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。

已知每户每日用电量（单位：度）服从 [0 , 20]上的均匀分布，禾用中心极 限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。

（所求概率用标 准正态分布函数 （X ）的值表示）.
解：用X i 表示第i 户居民的用电量，则 X i ~ U [0,20]
EX i U 10
2
DX i
2
(20 0) 100 ~12~ ~
.... 2 ^分
则1000户居民的用电量为
1000
X i ，由独立同分布中心极限定理
1
=1
10100 1 10 10100 10100 1000 10
... 3分
.... 4分
, 000 型 V
3 J1000 型
V 3
=1 10
—) ) 100 11000 —— \ 3
(6)
... 7分
1 、(7 分)设 x 1, x 2, ,X n 是取自总体X 的一组样本值,
X 的密度函数为
其中
0未知，求
解：最大似然函数为
一 、（1）x , f （X ）
0,
0x1,
其他，
n
L(X 1, , X n , )
f
(X i )
(1)X i
(2)
=(1)n
(X 1,
,X n
)
•- .3 分
为x 5，试求 的置信水平为95%的置信区间。

（t 0.05（100） 1.99, (1.96) 0.975)
... 2 ^分
则的置信水平为
95%的置信区间为
依题意
0.05
,
U _ 1.96, n 100, 7
1, X 5
[X U
2
v n
,x U
2
7n ]
... 4 分
即为
[,
]
ln L(X 1, ,X n , ) nln( 1) In (X 1, ,X n )
X 1
,
,
X
n
• •4分
A d l n L n ., 令 ----- ------ In （X1,
d 1
，X n ）0
n
------------ 。

(7)
十二、（5
分）某商店每天每百元投资的利润率 X ~ N （ ,1）服从正态分布，均值为
，长期以来方差2
稳定为1,现随机抽取的
100天的利润，样本均值
解：因为
y
已知，且 ^^~N(0,1)
/J n
... 1分。