《复变函数与积分变换》课程教学大纲课程名称：复变函数与积分变换代码01121210课程类型: 公共必修课学分：3总学时：48 理论学时：48先修课程：无适用专业:理工科各专业一、课程性质、目的和任务复变函数与积分变换是工科相关专业的一门重要基础课程，通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基础理论和方法，重点掌握解析函数、柯西定理与柯西积分公式、留数、共性映射等内容，以及掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的性质与方法，为有关后续课程的学习奠定必要的数学基础。

本课程的理论与方法在自然科学和工程技术中都有广泛的应用，它是研究微分方程、积分方程、数学物理方程等数学分支的必要工具，更是学习工程力学、振动力学、电工学、电磁学、热学、自动控制、电子工程、信息工程与机电工程等专业课程必要的理论基础。

要学好本课程必须具备高等数学的基础。

二、教学基本要求通过本课程的学习，要求考生系统地获得复变函数与积分变换的基本知识，切实掌握复变函数的基本理论和方法，掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的基本概念与方法，并具有比较熟练的运算能力和分析解决实际问题的能力，同时注意培养抽象思维能力与一定的逻辑推理能力，进而为学习后继课程及工程实际应用奠定良好的基础。

本课程分为九章，其中前七章为复变函数的内容，后两章为积分变换的内容。

其中第七章解析函数在平面场的应用作为选讲内容。

第一个层面是考试中对各知识点的要求由低到高分为三个认知层次，其中对概念与理论用“理解”、“知道”和“了解”表述，对方法和运用由“熟练掌握”、“掌握”和“会”表述，前者为较高的要求。

第二个层面是考试中对各部分内容的掌握程度按由低到高依次为：“识记”、“领会”、“简单应用”、“综合应用”四个能力层次确定其考核要求，它们之间是递进等级的关系，后者必须建立在前者的基础上。

其含义是：识记——要求考生能够识别和记忆本大纲中规定的有关知识点的主要内容（如定义、定理、公式、法则、重要结论、方法、步骤等），并能根据考核的不同要求，做出正确的表达、选择和判断。

领会——要求考生能够领悟和理解本大纲中规定的有关知识点的内涵与外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别与联系，并能根据考核要求，给出正确的解释、说明和论述。

简单应用——要求考生能够运用本大纲中规定的少量知识点，分析和解决一般应用问题，如简单的计算、证明和分析等。

综合应用——要求考生能够运用本大纲中规定的多个知识点经过分析、计算或推导，解决稍复杂的问题.三、教学内容及要求第一章复数与复变函数（一）本章知识点§1.1 复数§1.2 复数的三角表示§1.3 平面点集的一般概念§1.4 无穷大与复球面§1.5 复变函数（二）考核要求1．复数的概念及其表示方法，要求达到“领会”层次。

（1）理解复数的概念。

（2）熟练掌握复数的三种表示方法。

2．复数的运算及其几何意义，要求达到“简单应用”层次。

（1）熟练掌握复数的四则运算及开方运算。

（2）知道上述各种运算的几何意义。

（3）会用三种表示方法进行复数的综合运算。

3．点集、区域和简单曲线，要求达到“领会”层次。

（1）了解区域、简单曲线等概念。

（2）掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。

（三）重点与难点重点：复数的运算以及用复数方程表示曲线；复数各种表示形式的相互转化。

难点：用不等式表示区域。

第二章解析函数（一）本章知识点§2.1 解析函数的概念§2.2 解析函数和调和函数的关系§2.3 初等函数（二）考核要求1．复变函数的概念，要求达到“领会”层次。

（1）理解复变函数以及映射的概念。

（2）理解一个复变函数与一对二元实函数的关系。

（3）掌握原像曲线方程在已知映射下的像曲线方程的求法。

2．复变函数的极限和连续性，要求达到“识记”层次。

3．复变函数的导数，要求达到“领会”层次。

（1）理解复变函数的导数定义。

（2）掌握可导与连续的关系及求导方法。

4．解析函数的概念，要求达到“领会”层次。

（1）理解解析函数的概念。

（2）掌握函数解析的判别法。

5．柯西——黎曼条件，要求达到“简单应用”层次。

（1）理解和熟练掌握柯西——黎曼条件。

（2）熟练掌握运用柯西——黎曼条件判别函数可导性与解析性的方法。

6．解析函数与调和函数的关系，要求达到“简单应用”层次。

（1）知道调和函数的定义。

（2）了解解析函数与调和函数的关系。

（3）掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数，从而得到解析函数的方法。

7．初等函数，要求达到“识记”层次。

（1）记住指数函数、对数函数、幂函数及三角函数的定义，并会进行简单计算；了解反三角函数的定义。

（2）了解初等函数的主要性质（包括在单值域中的解析性）。

（三）重点与难点重点：函数解析性的判断；掌握和运用柯西－黎曼条件；从已知的调和函数求其共轭调和函数。

难点：函数解析性的判断；由已知的调和函数求其共轭调和函数或已知解析函数的一部求该解析函数。

第三章复变函数的积分（一）本章知识点§3.1 复积分的概念§3.2 柯西积分定理§3.3 柯西积分公式§3.4 解析函数的高阶导数（二）考核要求1．复变函数积分的概念，要求达到“领会”层次。

（1）知道复变函数积分的定义。

（2）了解复变函数积分可转化为两个实二元函数的线积分。

2．积分的存在性及其计算公式，要求达到“领会”层次。

（1）知道复积分的存在性。

（2）掌握计算复变函数积分的参数方程法（即化参变量的定积分）。

3．积分的基本性质，要求达到“领会”层次。

4．柯西定理，要求达到“简单应用”层次。

5．原函数与不定积分，要求达到“领会”层次。

（1）知道变上限函数的有关概念。

（2）会用原函数求解析函数的积分值。

6．柯西定理的推广，要求达到“简单应用”层次。

（1）理解复合闭路定理。

（2）会应用复合闭路定理及路线变形原理计算某些积分。

7柯西积分公式，要求达到“简单应用”层次。

（1）理解柯西积分公式。

（2）熟练掌握用柯西积分公式计算某些积分。

8．解析函数的高阶导数公式，要求达到“简单应用”层次。

（1）理解高阶导数公式。

（2）掌握用高阶导数公式计算某些积分。

9．解析函数的等价概念，要求达到“识记”层次。

（三）重点与难点重点：柯西定理；柯西积分公式及高阶导数公式的用法。

难点：复变函数积分的计算。

第四章解析函数的级数表示（一）本章知识点§4.1 复数项级数§4.2 复变函数项级数§4.3 泰勒（Taylor）级数§4.4 洛朗（Laurent）级数（二）考核要求1．数列的极限，要求达到“识记”层次。

（1）知道复数列的极限概念。

（2）知道复数列收敛的充分必要条件。

2．复数项级数，要求达到“识记”层次。

（1）了解复数项级数的基本概念。

（2）了解有关复数项级数敛散性的几个定理。

3．复函数项级数，要求达到“识记”层次。

（1）了解复函数项级数的有关概念。

（2）了解复函数项级数的绝对收敛的概念。

4．幂级数的概念，要求达到“领会”层次。

（1）了解幂级数的概念。

（2）理解阿贝尔定理。

5．收敛圆与收敛半径，要求达到“简单应用”层次。

（1）理解收敛圆与收敛半径的概念。

（2）掌握利用收敛圆的特征和阿贝尔定理判断某些幂级数收敛范围的方法。

（3）会用比值法和根值法求幂级数的收敛半径。

（4）了解幂级数在其收敛圆内的两个性质。

6．解析函数的泰勒展开式，要求达到“领会”层次。

（1）知道解析函数的泰勒展开定理。

（2）掌握利用奇点求收敛半径的方法。

（3）知道4个等价的解析函数的定义。

7．初等函数的泰勒展开式，要求达到“简单应用”层次。

（1）掌握常用初等函数的泰勒展开式。

（2）会应用已知函数的泰勒展开式求另一些函数的泰勒展开式（间接展开法），并能确定其收敛半径。

8．洛朗级数，要求达到“简单应用”层次。

（1）知道在圆环域内解析的函数的洛朗展开定理及其作用。

（2）熟练掌握用间接方法将比较简单的函数在不同环域内展开成洛朗级数。

9．孤立奇点，要求达到“领会”层次。

（1）理解可去奇点、极点及本性奇点的概念。

（2）掌握孤立奇点的分类及其判别方法。

（三）重点与难点重点：函数展开成泰勒级数；在不同环域内将函数展开成洛朗级数；孤立奇点类型的判别。

难点：在不同环域内将函数展开成罗朗级数；孤立奇点类型的判别。

第五章留数及其应用（一）本章知识点§5.1 孤立奇点§5.2 留数§5.3 留数在定积分计算中的应用§5.4 对数留数与辐角原理（二）考核要求1．留数的概念及留数定理，要求达到“领会”层次。

（1）理解留数的概念。

（2）掌握并能应用留数定理。

2．留数的计算，要求达到“领会”层次。

（1）熟练掌握较低阶极点处的留数的计算。

（2）掌握本性奇点处留数的计算方法。

3．留数在定积分计算上的应用，要求达到“简单应用”层次。

根据本节内容的知识特点，将其列为实践技能考核的重点。

（三）重点与难点重点：留数的计算及利用留数定理计算某些复积分。

难点：留数的计算及应用留数定理计算某些复积分和定积分。

第六章共形映射（一）本章知识点§6.1 共形映射的概念§6.2 共形映射的基本问题§6.3 分式线性映射§6.4 几个初等函数构成的共形映射（二）考核要求1．导数的几何意义，要求达到“领会”层次。

（1）理解导数的辐角的几何意义。

（2）理解导数的模的几何意义。

2．保角映射的概念，要求达到“领会”层次。

3．关于保角映射的几个一般性定理，要求达到“识记”层次。

（1）知道黎曼定理。

（2）知道边界对应原理。

4．分式线性映射及其性质，要求达到“领会”层次。

（1）理解分式线性映射的概念。

（2）掌握分式线性映射的重要性质：保角性，保圆性，保对称性和保交比性。

5．三类典型的分式线性映射，要求达到“综合应用”层次。

（1）掌握上半平面到上半平面的分式线性映射。

（2）掌握上半平面到单位圆的分式线性映射。

（3）掌握单位圆到单位圆的分式线性映射。

6．幂函数与根式函数所构成的映射，要求达到“综合应用”层次。

（1）掌握幂函数与根式函数所构成的映射的特点。

（2）会应用幂函数与根式函数确定适当的区域间的映射。

7. 指数函数与对数函数所构成的映射，要求达到“综合应用”层次。

（1）掌握指数函数与对数函数所构成的映射的特点。

（2）会应用指数函数与对数函数确定适当的区域间的映射。

（三）重点与难点重点：保角映射的概念，分式线性映射的性质和三类典型的分式线性映射。

难点：以分式线性映射为主的复合函数的映射。

幂函数与根式函数；指数函数与对数函数所构成的映射（根据其应用性特点，列为实践技能考核的重点）。

第七章解析函数在平面场的应用本章知识点§7.1 复势的概念§7.2 复势的应用§7.3 用共形映射的方法研究平面场本章不列入考核范围第八章傅里叶变换§8.1 傅里叶变换的概念§8.2 单位冲激函数（ 函数）§8.3 傅里叶变换的性质（一）本章知识点1. 傅里叶级数的复数形式，要求达到“识记”层次。