第六章 万有引力与航天
要点解读
一、天体的运动规律
从运动学的角度来看，开普勒行星运动定律提示了天体的运动规律，回答了天体做什么样的运动。

1．开普勒第一定律说明了不同行星的运动轨迹都是椭圆，太阳在不同行星椭圆轨道的一个焦点上；
2．开普勒第二定律表明：由于行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，所以行星在绕太阳公转过程中离太阳越近速率就越大，离太阳越远速率就越小。

所以行星在近日点的速率最大，在远日点的速率最小；
3．开普勒第三定律告诉我们：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，比值是一个与行星无关的常量，仅与中心天体——太阳的质量有关。

开普勒行星运动定律同样适用于其他星体围绕中心天体的运动（如卫星围绕地球的运动），比值仅与该中心天体质量有关。

二、天体运动与万有引力的关系
从动力学的角度来看，星体所受中心天体的万有引力是星体作椭圆轨道运动或圆周运动的原因。

若将星体的椭圆轨道运动简化为圆周运动，则可得如下规律：
1．加速度与轨道半径的关系：由2
Mm G ma r =得2r GM a =
2．线速度与轨道半径的关系：由22Mm v G m r r
=得v =
3．角速度与轨道半径的关系：由22Mm G m r r
ω=得ω=4．周期与轨道半径的关系：由r T m r Mm G 222⎪⎭
⎫ ⎝⎛=π得GM r T 32π= 若星体在中心天体表面附近做圆周运动，上述公式中的轨道半径r 为中心天体的半径R 。

学法指导
一、求解星体绕中心天体运动问题的基本思路
1．万有引力提供向心力；
2．星体在中心天体表面附近时，万有引力看成与重力相等。

二、几种问题类型
1．重力加速度的计算 由2
()Mm G mg R h =+得2()GM g R h =+ 式中R 为中心天体的半径，h 为物体距中心天体表面的高度。

2．中心天体质量的计算
（1）由r T m r GMm 22)2(π=得23
24GT
r M π= （2）由mg R
Mm G =2得2gR M G = 式（2）说明了物体在中心天体表面或表面附近时，物体所受重力近似等于万有引力。

该式给出了中心天体质量、半径及其表面附近的重力加速度之间的关系，是一个非常有用的代换式。

3．第一宇宙速度的计算
第一宇宙速度是星体在中心天体附近做匀速圆周运动的速度，是最大的环绕速度。

（1）由2R
Mm G =R v m 21得1v =
（2）由mg =R
v m 2
1得1v =4．中心天体密度的计算
（1）由mg R Mm G =2和ρπρ334R V M ==得RG
g πρ43= （2）由R T m R Mm G
22)2(π= 和ρπρ334R V M ==得23GT πρ=。