-4-
行了调查，从中随机抽取了 100 名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如下左图：
(1)求 a 的值，并估计这 2000 名学生视力的平均值(精确到 0.1)； (2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前 50 名与后 50 名的学生进行了调查，得到 的数据如右上列联表，根据表中数据，能否有 95%把握认为视力与学习成绩有关? (3)自从“十八大”以来，国家郑重提出了人才强军战略，充分体现了国家对军事人才培养的高度重视。近 年来我市空军飞行员录取情况喜人，继 2019 年我市有 6 人被空军航空大学录取之后，今年又有 3 位同学顺 利拿到了空军航空大学通知书，彰显了我市爱国主义教育，落实立德树人根本任务已初见成效。2020 年某 空军航空大学对考生视力的要求是不低于 5.0，若以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力 在 4.8 以上的同学中随机抽取 3 名同学，这 3 名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为 X，求 X 的分 布列及数学期望。
B.这 20 天中的中度污染及以上的天数占 1 3
C.该市 12 月的前半个月的空气质量越来越好
D.总体来说，该市 12 月，上旬的空气质量比中旬的空气质量好
10.函数 f(x)＝2sin(x＋2θ)·cosx(0<θ< )的图象过点(0，2)，若把函数 y＝f(x)图像向右平移 φ(φ>0)个单位得 2
(2)设直线 l 与椭圆 C 相切，且交圆 O：x2＋y2＝4 于 M，N 两点，求△MON 面积的最大值，并求此时直线
l 方程。
22.(满分 12 分)
已知函数。f(x)＝x2－m，g(x)＝x＋lnx。
(1)若函数 F(x)＝f(x)－g(x)，求函数 F(x)的极值；
(2)若 f(x)＋g(x)＋xex<x2＋2x＋2ex 在 x∈(0，4)时恒成立，求实数 m 的0
项和为
。
14.已知直线 y＝x＋1 是曲线 f(x)＝ln(x＋a)的切线，则 a＝
。
15.设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F(1，0)，准线为 l，过焦点的直线交抛物线于 A，B 两点，分别过 A，
B 作 l 的垂线，垂足为 C，D，若|AF|＝4|BF|，则|AB|＝
D.－ 3 10 10
7.十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础。著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产
物，具有典型的分形特征其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段( 1 ， 2 )，记 33
-1-
为第一次操作；再将剩下的两个区[0， 1 ]，[ 2 ，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第 33
C.若四棱锥 A－MENF 的体积 V＝p(x)，x∈(0，1)，则 p(x)是常函数
D.若多面体 ABCD－MENF 的体积 V＝h(x)，x∈( 1 ，1)，则 h(x)为单调函数 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.设数列{an}的前
n
项和为
Sn，且
an＝2n－1，则数列{
到函数 g(x)＝sin(2x＋ )＋1 的图像，则下列结论正确的是 6
A.直线 x＝ 是 y＝f(x)的一条对称轴 4
B.函数 y＝f(x)的最小正周期是 π
C.函数 y＝f(x)的值域是[0，2]
D.φ 的最小值是 6
11.双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的焦点在圆 O：x2＋y2＝13 上，圆 O 与双曲线
C
的渐近线在第一、
-2-
uuur uuur uuur r 二象限分别交于 M、N 两点，点 E(0，a)满足 EO EM EN 0 (其中 O 为坐标原点)，则正确说法是
uuur A.双曲线 C 的一条渐近线方程为 3x－2y＝0 B.| OE |＝1
C.双曲线 C 的离心率为 13 2
D.△OMN 的面积为 6
点 M，N，且 BD//平面 AMHN。
(1)证明：MN⊥AH；
(2)当 H 为 PC 的中点，PA＝PC＝ 3 AB，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60°，求平面 ABCD 与平面 AMHN
所成锐二面角的大小。 20.(满分 12 分) 受新冠肺炎疫情影响，上学期同课时间长达三个多月，电脑与手机屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成 了非常大的损害。我市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级 2000 名学生的视力情况进
选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9.空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
如右下图是某市 12 月 1 日～20 日 AQI 指数变化趋势，则下列叙述正确的是
A.这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100
茂名市 2021 届五校联盟高三级第一次联考
数学试题
本试卷共 4 页。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡对应位置上。写在本试卷上无效。
A.8 B.12 C.16 D.20
5..若
a＝(
2 3
)－1，b＝log23，c＝(
1 2
)0.3，则
A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.c<a<b
6.在△ABC 中，B＝ ，AD 是 BC 边上的高，且 CD＝2AD，则 cos∠BAC＝ 4
3 10
A.
10
10
B.
10
C.－ 10 10
-3-
17.(满分 10 分)
如图，在平面四边形 ABCD 中，∠B＝120°，BC＝2，△ABC 的面积为 2 3 。
(1)求 AC；
(2)若∠ADC＝60°，求四边形 ABCD 周长的最大值。
18.(满分 12 分)
在①a2，a3，a4－4 成等差数列；②S1，S2＋2，S3 成等差数列；⑧an＋1＝Sn＋2 中任选一个，补充在下列问 题中，并解答。
12.如图所示，正方体 ABCD－A'B'C'D'的棱长为 1，E，F 分别是棱 AA'，CC'的中点，过直线 EF 的平面分
别与棱 BB'，DD'交于 M，N，设 BM＝x，x∈(0，1)，则正确的说法是
A.四边形 MENF 为平行四边形
B.若四边形 MENF 面积 S＝f(x)，x∈(0，1)，则 f(x)有最小值
二次操作；…如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉
中间的区间段。操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”。若使去掉的各
区间长度之和不小于 9 ，则需要操作的次数 n 的最小值为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) 10
。△CDF 的面积为
。(本题第一
个空 2 分，第二个空 3 分)
16.如图，已知正方体的 ABCD－A1B1C1D1 棱长为 2，点 M，N 分别是棱 BC，C1D1 的中点，点 P 在平面
A1B1C1D1 内，点 Q 在线段 A1N 上，若 PM＝ 5 ，则 PQ 长度的最小值为
。
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。
A.4 B.5 C.6 D.7
8.若函数 f(x)＝ 1 cos2x＋3a(sinx－cosx)＋(4a－1)x 在[ ，0]上单调递增，则实数 a 的取值范围为
2
2
A.[ 1 ，1] 7
B.[－1， 1 ] 7
C.(－∞，－ 1 ]∪[1，＋∞) 7
D.[1，＋∞)
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
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-8-
-9-
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- 11 -
- 12 -
- 13 -
- 14 -
附： K 2
n(ad bc)2
，其中 n＝a＋b＋c＋d。
(a b)(c d )(a c)(b d )
21.(满分 12 分)
已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右焦点是 F(c，0)，P
椭圆上的一动点，且|PF|的最小值是 1，当
PF
垂直长轴时，|PF|＝ 3 。 2
(1)求椭圆 C 的标准方程；
A.{0，1} B.{－1，0，1} C.(－1，1] D.[－1，1]
r
r
rr
rr
3.己知向量| a |＝4，| b |＝8， a 与 b 的夹角为 60°，则|2 a ＋ b |＝
A.5 3
B.8 3
C.8 2
D.6 3
4.电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革 40 年 的力作，该影片于 2020 年 09 月 25 日正式上映。在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一 起去观看该影片，订购的 4 张电影票恰好在同一排且连在一起。为安全起见，影院要求每个小孩子要有家 长相邻陪坐，则不同的坐法种数是
在各项均为正数等比数列{an}中，前 n 项和为 Sn，已知 a1＝2，且
。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若