尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第7章--生产函数)尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）第3篇生产与供给第7章生产函数课后习题详解跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．动力山羊草坪公司使用两种类型的除草机割草。
小型除草机具有24英寸刀片并适用于具有较多树木与障碍物的草坪。
大型除草机恰为小型除草机的两倍大，并适用于操作时不太困难的空旷场地。
动力山羊公司可行的两种生产函数为：（1）对于第一种生产函数，图示40000q =平方英尺的等产量线。
如果这些要素没有浪费地结合起来，则需要多少k 和l ？（2）对于第二种生产函数回答（1）中的问题。
（3）如果40000平方英尺中的一半由第一种生产函数完成，一半由第二种生产函数完成，则k 与l 应该如何无浪费地配合？如果3/4的草坪由第一种生产函数完成，而1/4的草坪由第二种生产函数完成，则k 与l 应该如何配合？（4）在你考虑（3）中的问题的基础上，画出40000q =的联合生产函数的等产量曲线。
解：对于每一种除草机，由于它们需要的资本投入和劳动投入的比例是固定的，所以生产函数是固定比例型的生产函数，即：1118000min ,2k F l ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ {}2225000min ,F k l =（1）对于第一种生产函数，40000q =平方英尺的等产量线如图7-1所示。
将140000q F ==代入大型除草机的生产函数，得：115min ,2k l ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 由此可知最优投入为110k =，15l =。
（2）对于第二种生产函数，40000q =平方英尺的等产量线如图7-3所示。
把240000q F ==代入小型除草机的生产函数，得：{}228min ,k l =由此可知最优投入为28k =，28l =。
图7-3 等产量线（3）如果40000平方英尺中的一半由第一种生产函数完成，一半由第二种生产函数完成，则把120000F =，220000F =分别代入大型除草机和小型除草机的生产函数，得到：112.5min ,2k l ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭{}224min ,k l =解得：15k =，1 2.5l =；24k =，24l =。
从而得到：12549k k k =+=+=122.54 6.5l l l =+=+=如果3/4的草坪由第一种生产函数完成，而1/4的草坪由第二种生产函数完成，则采用类似的方法可得：9.5k =， 5.75l =。
（4）假设大型除草机完成40000平方英尺草坪中的S 份，其余的由小型除草机完成，则：11400008000min ,2k S l ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ (){}224000015000min ,S k l -=从而可以解得：110k S =，15l S =，()2281k l S ==-。
因而有：1282k k k S =+=+，1283l l l S =+=-。
进而可得：3240k l +=即为所求的等产量线，如图7-4所示。
图7-4 同时使用两种除草机时的等产量线2．假定生产小饰品的生产函数为：220.80.2q kl k l =-- 其中，q 代表小饰品的年产量，k 代表每年的资本投入，l 代表每年的劳动投入。
（1）假定10k =，图示劳动的总产出和平均产出曲线。
当劳动投入为多少时，平均产出达到最大？在该点的产出量为多少？（2）假设10k =，图示lMP 曲线。
劳动投入为多少时，0lMP =？ （3）假定资本投入增至20k =，（1）与（2）中的答案应该有何变化？（4）小饰品的生产函数呈现出的规模报酬是不变、递增还是递减？解：（1）当10k =时，总产出函数为2100.280q l l =--，总产出最大化的一阶条件为：d 100.40d q l l=-= 解得：25l =，又因为22d 0.4d q l =-，所以总产出曲线是凹的，使总产量最大化的劳动投入为25l =，劳动的总产出曲线如图7-5（a ）所示。
图7-5 劳动的总产出、平均产出和边际产出曲线劳动投入的平均产出为：/100.280/lAP q l l l ==--，平均产出最大化的一阶条件为：280d 0.20d l AP l l =-=从而可以解得使平均产量最大的劳动投入量为：20l =。
平均产出曲线如图7-5（b ）所示。
（2）当10k =时，劳动的边际产出为：100.4l MP l =-，边际产出曲线如图7-5（b ）所示。
由100.40l -=，可得：25l =。
（3）当20k =时，生产函数为：2200.2320 q l l =-- 因而劳动的平均产量为：320200.2lAP l l =--，在40l =，160q =处达到最大；边际产量为：200.4lMP l =-，在50l =处为零。
（4）当1t >时，由()()2222,0.80.2f tk tl tkl k l t q q =--=>，所以，该函数呈现递增的规模报酬。
3．萨姆梅隆正在考虑更新他在切尔斯酒吧的凳子。
新的酒吧凳子生产函数为：0.20.80.1q k l = 其中，q 是在更新凳子期间所生产的凳子的数量，k 表示投入的机床工作的小时数，l 表示雇佣的工人工作的小时数。
萨姆将更换10张凳子，他为此准备了10000美元。
（1）萨姆认为，因为车床和工人所支付的费用相同（都是每小时50美元），因而他所使用的车床和工人工作的时长将一样。
如果萨姆按此进行生产，他所雇佣的每种要素数量是多少？更换凳子将支出多少钱？（2）诺姆（他懂一些关于酒吧凳子的情况）指出萨姆已经忘记了他所学的微观经济学知识。
诺姆指出，萨姆应该选择要素投入量使得它们的边际（而不是平均）产出相等。
如果萨姆接受了建议，他将雇佣多少要素？最终更换成本是多少？（3）听说诺姆的建议能够省钱，克莱夫建议萨姆应该将节省下来的钱更换更多的凳子，从而可以给他美国邮政服务公司的同事提供更多的座位。
如果萨姆采纳诺姆的建议，在他的预算约束下，他将能够多提供多少凳子？（4）卡拉担心克莱夫的建议将给她带来更多的送餐工作。
她如何促使萨姆坚持其原来的更换10张凳子的计划？解：（1）由于萨姆所使用的车床和工人工作的时长一样，即k l =，且0.20.8100.1q kl ==，则可得100k =，100l =。
此时，总成本为：100501005010000⨯+⨯=（美元）。
（2）()0.8/0.02/k MP q k l k =∂∂=，()0.20.08/l MP k l =，令k lMP MP =可得：/4l k =；再由()0.80.2100.140.303q k k k ===，可以解得：33k =，132l =。
因而此时的总支出为：()50331328250⨯+=（美元）。
（3）由于该生产函数是规模报酬不变的，所以所有要素同时增加，产出将按比例增加，增加的比例为：100008250 1.21÷=。
因此12.1q =。
（4）卡拉影响萨姆计划的能力取决于她对于切尔斯酒吧而言是否能视为一个惟一的投入。
4．生产函数的规模报酬的局部度量方法是：计算规模弹性(),,q t f tk tl t e t q ∂=⋅∂在1t =处的值。
（1）证明：如果生产函数呈现出规模报酬不变，则,1q t e =。
（2）我们可以定义投入k 和l 的产出弹性如下：(),,q kf k l k e k q ∂=⋅∂ (),,q l f k l l e l q ∂=⋅∂证明：,,,q t q k q l e e e =+。
（3）一个呈现不同规模弹性的生产函数为：()1111q k l ---=+。
证明：对于此函数，当0.5q <时，,1q t e>；当0.5q >时，,1q t e <。
（4）直观地解释你在（3）中所得的结论。
（提示：对于该生产函数，q 有一个上界。
） 证明：（1）如果()(),,f tk tl tf k l =，则有：()()()(),11,,lim lim 1,,q t t t f tk tl f k l t e t f tk tl f k l →→∂=⨯==∂（2）由规模弹性(),,q t f tk tl t et q ∂=⋅∂可得： ,,,11(,)lim lim (,)q t q k q l t t f tk tl t f f t e k l e e t f tk tl k l f→→∂∂∂⎛⎫=⋅=⋅+⋅⋅=+ ⎪∂∂∂⎝⎭ （3）由生产函数()1111q k l ---=+可得：()()()12112311,111111,lim lim lim 2,1 22122q t t t t t k l f tk tl t t t e q t k l t f tk tl t q q qk l q q q -------→→→--∂+∂=⋅=⋅=⋅∂∂⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭从而当0.5q <时，,1q t e >；当0.5q >时，,1q t e <。
（4）对于（3）中的规模弹性变化的一个直观解释是，生产函数有一个上界1q =，当q 接近于其上界时，增加要素投入的收益将下降。
5．两种投入的柯布-道格拉斯生产函数的一般形式为：(),q f k l Ak l αβ==其中，01α<<，01β<<。
对于此生产函数： （1）证明：0kf >，0lf >，0kkf<，0llf<，0kllk ff =>。
（2）证明：,q keα=，,q leβ=。
（3）证明：（2）的结论意味着，对于此函数，,q t e αβ=+。
直接利用第4题中定义的规模弹性来证明此结论。
（4）证明：此函数是拟凹的。
（5）证明：如果1αβ+≤，则此函数是凹的；如果1αβ+>，此函数不是凹的。
证明：（1）由生产函数(),q f k l Ak l αβ==可得：()()1122110010100k l kk ll kl lk f Ak l f Ak l f Ak l f Ak l f f Ak l αβαβαβαβαβαβααββαβ------=>=>=-<=-<==>（2）由产出弹性的定义可得：1,1,q k q lq k ke Ak l k q q q l l e Ak l l q qαβαβααββ--∂=⋅=⋅=∂∂=⋅=⋅=∂（3）对于(),f tk tl tAk l αβαβ+=，由规模弹性的定义可得： ()1,11lim lim q tt t q t t e t q t q qαβαβαβ+-→→∂=⋅=+⋅=+∂ （4）由（1）可知，柯布-道格拉斯生产函数的海塞矩阵是负定的，即22112121222120ff f f f f f -+<，所以，该函数是拟凹的。