如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设： y1 x1 k y2 x2 ，因而有：
x1 x2 / 2 k ， y1 y2 / 2 k
从而可知无差异曲线如图 3-7 所示，不是凸状的，而是凹状的。 （3）在完全替代型的效用函数下，有：
U x1, y1 k U x2 , y2 U x1 x2 / 2, y1 y2 / 2
图 3-3 拟线性型的无差异曲线 （4）无差异曲线如图 3-4 所示。
边际替代率为： MRS f x / f y 0.5 x 2 y 2 0.5 2x / 0.5(x 2 y 2) 0.5 2y x / y ，因而边际替
代率递增，无差异曲线不是凸状的。
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x1 x2 / 2 k y1 y2 / 2 k
从而可知无差异曲线如图 3-7 所示，是凸状的。 （2）由（1）可知，两个商品组合的数量相等，则有：
U x1, y1 x1 k U x2 , y2 x2 U x1 x2 / 2, y1 y2 / 2 x1 x2 / 2

（1）因为 f11 f22 f2 0 ，所以该效用函数不是严格拟凹的。 （2）因为 f11 ， f22 0 ， f12 0 ，所以该效用函数是严格拟凹的。 （3）因为 f11 0 ， f22 0 ， f12 0 ，所以该效用函数是严格拟凹的。 （4）尽管仅考察 x y 时的情形，但是二阶偏导数的符号是不确定的，所以效用函数不 一定是严格拟凹的。 （5）因为 f11 ， f22 0 ， f12 0 ，所以效用函数是严格拟凹的。

图 3-6 利用图形判断凸性 答：（1）如果两个商品组合的数量相等，则有：
U x1, y1 x1 k U x2 , y2 x2 U x1 x2 / 2, y1 y2 / 2 x1 x2 / 2
如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设： y1 x1 k y2 x2 ，因而有：
格递减的 MRS （即该函数严格拟凹），则如下的条件必须成立：
f
2 2
f11
2 f1 f2
f12
f12
f22
0
利用该条件检验第 1 题中的每个效用函数相应的无差异曲线的凸性。描述此过程中你发
现的任何捷径。
答：在第 1 题中，由于所有的一阶偏导数都是正的，所以仅需要检验二阶偏导数。
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MRS
fx
/
fy
0.5 y / x0.5 0.5 y / x 0.5
y/
x
，随着Leabharlann x的递增， MRS
将递减，因而有凸的无差异曲线。
图 3-2 凸状的无差异曲线 （3）无差异曲线如图 3-3 所示。边际替代率为： MRS fx / fy 0.5x0.5 ，因而边际替 代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。
3．对于如下效用函数：
（1）U x, y xy （2）U x, y x2 y2 （3）U x, y ln x ln y
证明：尽管这些效用函数具有递减的 MRS ，但是它们分别显示出边际效用不变、递增、 递减。你能从中得出什么结论？
证明：（1） U x y ， U xx 0 ， U y x ， U yy 0 ， MRS y / x ； （2）Ux 2xy2 ， Uxx 2 y2 ， U y 2x2 y ，Uyy 2x2 ， MRS y / x ； （3）U x 1 / x ， Uxx 1 / x2 ，U y 1/ y ， U yy 1/ y2 ， MRS y / x 。 从以上分析可知，单调变化会影响递减的边际效用，但是不会影响边际替代率 MRS 。
4．如图 3-6 所示，一种证明无差异曲线的凸性的方法是，对于特定无差异曲线U k 上
的任何两点（ x1
，
y1 ）和（ x2 ，
y2
），两点的中点
x1
2
x2
, y1 y2 2
相应的效用至少与 k
一
样大。利用此方法来讨论如下效用函数的无差异曲线的凸性。务必图示你的结论。
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图 3-4 凹状的无差异曲线
（5）无差异曲线如图 3-5 所示。
边际替代率为： MRS
fx
/
fy
x y y xy x y2
/
x y x xy x y2
y2
/
x2
，因而边际替代率递
减，无差异曲线是凸状的。
图 3-5 凸状的无差异曲线
2．在第 3 章的脚注 7 中，我们已经证明：为例使得一个关于两个商品的效用函数有严
（5） U
x,
y
xy x y
答：（1）无差异曲线如图 3-1 所示，为一组直线。边际替代率为：MRS fx / fy 3 /1 3 ， 为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。
图 3-1 完全替代型的无差异曲线 （ 2 ） 无 差 异 曲 线 如 图 3-2 所 示 ， 为 性 状 良 好 的 无 差 异 曲 线 。 边 际 替 代 率 为 ：
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第 2 篇 选择与需求
第 3 章 偏好与效用
1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率 MRS 是
否随着 x 的增加而递减）。
（1）U x, y 3x y （2）U x, y x y （3）U x, y x y （4）U x, y x2 y2
因而无差异曲线既不是凹状的，也不是凸状的，而是线性的。
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图 3-7 利用图形来判断无差异曲线的性状
5．Phillie Phanatic 总是喜欢以一种特定的方式来吃 BallparkFranks 牌的热狗：他将 1 英尺长的热狗，恰好配以半块小圆面包，1 盎司芥末以及 2 盎司的咸菜调味品同时食用。