高斯()17771855-，德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”之称，高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、重变函数论、椭圆函数论等方面均有开创性贡献，他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法19．乘法公式解读课标多项式的形式是多种多样的，两个有一定关联的特殊多项式相乘，结果常常简洁而优美． 乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性又有实用性的具体结论，学习乘法公式应注意： 1．理解公式，掌握公式的结构特征；2．了解公式的变形与发展；3．灵活运用公式，既能正用、又能逆用，而且还能适当变形或重新组合，综合运用公式； 4．把握公式的几何意义，领悟数形结合的思想．问题解决例1如果正整数x ，y 满足方程2264x y -=，则这样的正整数对(),x y 的个数是______．试一试()()22a b a b a b -=+-，a b +以a b -的奇偶性相同，这个十分简单的结论是解本例的基础．例2已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-则a b c ++的值等于（ ） A ．9 B ．3 C ．4 D ．5 试一试 由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．例3计算（1）()()()()()2481621212121211++++++ （2）2222004200312004200220042004++ （3）3345.113.945.113.931.2-+⨯ 试一试对于（1），通过对待求式恰当变形，使之符合平方差公式的结构特征；对于（2），用字母表示数，将数值计算转化为式的计算．例4老师在黑板上写出三个算式225382-=⨯，229784-=⨯，22153827-=⨯，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：22115812-=⨯，22157822-=⨯……（1）请你再写出两具有上述规律的版式；（2）用文字写出上述算式反映的规律；（3）证明这个规律的正确性．试一试 由特殊到一般，用字母表示算式反映的规律并证明．例5（1）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求x y z ++的值．（2）222651=+，225372=+，26531378⨯=，221378373=+任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？分析 对于（1），由平方和联想到完全平方公式及其逆用，利用配方求出x ，y ，z ，的值：对于（2），从试验入手，然后给出一般情形的证明．解（1）由条件得()()()2221230x y z -+++-=，1x =，2y =-，3z =，原式2=．（2）一般地，设22m a b =+，22n c d =+，则()()2222mn a b c d =++ 22222222a c b d b c a d =+++2222222222a c b d abcd b c abcd a d =+++-+()()22ac bd bc ad =++- 或()()22ac bd bc ad -++智慧数例6整数问题常是饶有兴趣又发人思考的，若对整数作一些特殊的规定，就会得到一些特殊定义下的新数，并由此产生令人思考的问题，我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数称为“智慧数”，如221653=-，则16称为智慧数． 请判断：在自然数列中，从数1起，第2000个智慧是哪个数？分析与解 要确定第2000个智慧数，应先找到智慧数的特征及分布规律．因为()22211k k k +=+-，显然，每个大于4，并且是4的倍数的数也是智慧数．由此可知，被4除2的偶数都不是智慧数．所以，自然数列中最小的智慧数是3，第2个智慧数是5，从5起，依次是5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，20；…即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．根据这个结论，我们容易知道：因为2000136661=+⋅+，所以第1999个智慧数是466642668⋅+=，故第2000个智慧数是2669．数学冲浪知识技能广场1．若2220a ab b ++=，则代数式()()()422a a b a b a b +-+-的值为．2．已知()28m n -=，()22m n +=，则22m n +=______．3．已知()22210x y x y +--+=，则()999x y +=______．4．已知222450a b a b ++-+=，则2243a b +-的值为_______．5．已知以a 、b 、x 、y 满足3ax by +=，5ay bx -=，则()()2222a b x y ++的值为______． 6．如图，从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，上述操作所能验证的等式是（ ）A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a b a ab b -=-+C ．()2222a b a ab b +=++ D ．()2a ab a a b +=+ 7．已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．18．已知1x y +=，222x y +=，那么44x y +的值是（ ）A ．4B ．3C ．72D ．529．若a 、b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab +=（ ）A ．8-B ．16-C ．8D ．1610．在2004，2005，2006，2007这四个数中，不能表示为两个整数平万的数是（ ）A ．2004B ．2005C ．2006D ．200711．计算（1）()()()()2486717171711+++++ （2）224690123461234512347-⨯ （3）2222005200420052003200520052+- 12． 一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．思维方法天地13．已知()()200720052006a a --=，那么()()2220072005a a -+-=_____． 14．已知4a b -=，240ab c ++=，则a b +=______．15．杨辉三角是一个由数字排列成昀三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示()n a b +（此处0n =，1，2，3，4，5，6）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1()01a b += ()1a b a b +=+ ()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++ ()4432234464a b a a b a b ab b +=++++()554322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++()6654223245651520156a b a a b a b a b a b ab b +=++++++ …… 上图的构成规律你看懂了吗？请你直接写出()7a b +=______．杨辉三角还有另一个特征（1）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与______积． （2）由此你可写出511=______．（3）由第_____行可写出811=______．16．如果2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则23a b c ++的值是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1817．如果1x y +=，223x y +=，那么33x y +的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．518．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如22420=-，221242=-，222064=-，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？20．已知0a b c ++=，2221a b c ++=（1）求ab bc ca ++的值；（2）求444a b c ++的值．应用探究乐园21．（1）证明：奇数的平方被8除余1．（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．22．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？19乘法公式答案问题解决例1 2对()()64x y x y +-=，0x y x y +>->且x y +与x y -的奇偶性相同，得 322x y x y +=⎧⎨-=⎩，164x y x y +=⎧⎨-=⎩， 则1715x y =⎧⎨=⎩，106x y =⎧⎨=⎩例2B 三等式相加得：()()()2223110a b c -+++-=3a =，1b =-，1c =例3（1）原式()()()()()()248162121212121211=-++++++ ()()()()()22481621212121211=-+++++32211=-+322=（2）设200420003a =，则原式()()222111a a a +=-++()2211221a a +==+ （3）原式()()2245.113.945.145.113.913.945.113.945.113.9-+⨯+-+⨯- ()245.113.9=+3481=例4（1）略（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数（3）设m 、n 为整数，()()()()22212141m n m n m n +-+=-⨯++当m 、n 同奇或同偶，()4m n -是8的倍数，当m 、n 一奇一偶，()41m n ++是8的倍数． 数学冲浪1．0 2．53．1由条件得()210x y +-= 4．75．34原式22222222a x a y b x b y =+++()()22ax by ay bx =++- 6．A7．B 原式()()()22212a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦8．C9．B ()()2220a b a -++=10．C 形如4k 或21k +的数为“智慧数”11．（1）167；（2）24690；（3）1212．设这个自然为x ，由题意得224445n m x x +=⎧-=⎪⎨⎪⎩①②②-① 得2289n m -=，即()()891n m n m +-=⨯从而891n m n m +=⎧⎨-=⎩，解得4544n m =⎧⎨=⎩ 故245441981x =-=13．4016 原式()()()()220072005220072005a a a a =---+--⎡⎤⎣⎦ 14．0 把4a b =+代入240ab c ++=得()2220b c ++=，2b =-，0C =，242a =-+=，0a b += 15．略（1）11（2）161051（3）9；21435888116．B 由222a b c ab bc ac ++=++， 得()()()222102a b b c a c ⎡⎤-+-+-=⎣⎦，从而2a b c === 17．C ()()22222xy x y x y =+--=-1xy =-，()()33224x y x y x xy y +=+-+=18．C 提示：()()22009741x y x y +-==⨯有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009， 因此对应的方程组为：1,7,41,49,2872009,1,7,41,49,287,20092009,287,49,41,7,1,2009,287,49,41,7,1x y x y +=-----⎧⎪-⎪⎨-=------⎪⎪⎩ 故(),x y 共有12组不同的表示19．（1）22284786=⨯=-，2220124503504502=⨯=- 故28和2012都是神秘数．（2）()()()22222421k k k +-=+，为4的倍数．（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数，但()()2221218n n n +--=，故两个连续奇数的平方差不是神秘数20．（1）()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++， 得12ab bc ca ++=- （2）由12ab bc ca ++=-， 得()214ab bc ca ++=，即()222222124a b b c c a abc a b c +++++= 得22222214a b b c c a ++= 又2221a b c ++=，平方得4442222222221a b c a b b c c a +++++=故()44422222211121242a b c a b b c c a ++=-++=-⨯= 21．（1）()()221411n n n +=++()8|41n n +，故奇数的平方被8除余1（2）假设2006可以表示为10个奇数的平方之和，也就是2222123102006x x x x ++++=…．（其中1x ，2x ，……，10x 是奇数）等式左边被8除余2，而2006被8除余6，矛盾．故2006不能表示为10个奇数的平方之和．22．设228128002=1x m x n -⎧+=⎪⎨⎪⎩①②，m 、n 均为正整数，且m n >，①-② 得()()4240235m n n n +-==⨯⨯2m ，2n 都是8的倍数，则m 、n 能被4整除，m n +、m n -均能被4整除， 得604m n m n +=⎧⎨-=⎩或2012m n m n +=⎧⎨-=⎩ ∴3228m n =⎧⎨=⎩或164m n =⎧⎨=⎩ 28120904x m =-=，或28120136x m =-=。