数学建模
雨
中
行
走
模
型
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数学建模之雨中行走问题模型
摘要：
考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。
试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。
若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；
若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。
① 当
α
sin r v <时,淋在背上的雨量为
[]v vh rh pwD -αsin ,雨水总量
()[]v
v r h dr pwD C -+=ααsin cos .
② 当α
sin r v
=时,此时0
2
=C .雨水总量α
cos v
pwDdr
C
=
,如0
30
=α
,升
24.0=C
这表明人体仅仅被头顶部位的雨水淋湿.实际上这意味着人体刚好跟着雨滴向前走,身体前后将不被淋雨. ③ 当α
sin r v
>时,即人体行走的快于雨滴的水平运动速度αsin r .此时将不断地赶上
雨滴.雨水将淋胸前（身后没有）,胸前淋雨量()v r v pwDh C α
sin 2
-=
关键词：
淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度
1.问题的重述
人们外出行走,途中遇雨,未带雨伞势必淋雨,自然就会想到,走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处进行时,雨的速度（大小和方向）已知,问行人走的速度多大才能使淋雨量最少？
2.问题的分析.
由于没带伞而淋雨的情况时时都有，这时候大多人都选择跑，一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。
但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。
，
一、我们先不考虑雨的方向，设定雨淋遍全身，以 最大速度跑的话，估计总的淋雨量；
二、再考虑雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为 ，如图1，建立总淋雨量与速度v 及参数a,b,c,d,u,w,θ之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算=0，=0
90时的总淋雨量；
θθθ
三、再是雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.，建立总淋雨量与速度v及参数a , b , c, d , u , w , α之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少；
四、以总淋雨量为纵轴，对（三）作图，并解释结果的实际意义；
五、若雨线方向不在同一平面内，模型会有什么变化；按照这五个步骤，我们可以进行研究了。
3.模型的假设与符号说明
2.1模型的假设
1. 设雨滴下落的速度为u（米/秒）,降水强度（单位时间平面上的降水厚度）为w（厘米/时）,且u,w为常量.
2. 设雨中行走的速度为v（米/秒）,（固定不变）.雨中行走的距离为d（米）.
3. 设降雨的角度（雨滴下落的反方向与人前进的方向之间的夹角）为θ
4. 视人体为一个长方体,其身高为a（米）,身宽为b（米）,厚度为c（米）
3.2符号说明
a:代表人颈部以下的高度
b:人身体的宽度
c:人身体的厚度
d:起跑点到终点的距离
m
v :跑步的最大速度
u :雨的速度
w :降雨量 v
:跑步速度
θ
:雨线方向与人体夹角
S:人的全身面积
t= d/m v :雨中行走的时间
4.模型的建立与求解
（1）不考虑雨的方向
首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响。
雨将淋遍全身，淋雨的面积s=2ab+2ac+bc=2.22
m ， 淋雨的时间t=d/m v =200s, 降雨量w=2cm/h=4
10
-/18(m/s),
所以总的淋雨量Q=stw
≈
2.4L 。
（2）雨从迎面吹来
雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的角度为 。
如图1。
建立总淋雨量与速度v 及参数a ，b ，c ，d ，u ，w ， 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少。
计算θ =0，θ =30时的总降雨量。
雨滴落下的速度为u=4m/s ，降雨量w=2cm/h 。
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前部。
分两部分计算淋雨量.
顶部的淋雨量1Q = bcdw cos θ/v ；雨速水平分量usin θ，风向与v 相反。
合速度usin θ+v ，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w （ usin θ+v ）/u ，迎面淋雨量2Q =abdw （ usin θ+v ）/uv ，所以总淋雨量
12cos (sin )bdw cu a u v Q Q Q u v
θθ++=+=⋅
v=m v 时Q 最小。
0θ=时，Q=1.2L ；θ=0
30，Q ≈1.6L 。
(3)考虑降雨方向的模型（雨从背面吹来）
雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为a ，如图2。
建立总淋雨量与速度v 及参数a ，b ，c ，d ，u ，w ， 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少。
计算 =30的总淋雨量。
雨滴落下的速度为u=4m/s ，降雨量w=2cm/h ，因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和背部。
分两部分计算淋雨量。
顶部的淋雨量1Q =bcdw cos θ/v ；雨速水平分量usin θ，风向与v 相反。
合速度
sin u a v -，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w （ usin θ-v ）/u ，迎面淋雨量
2Q =abdw （ usin θ
-v ）/uv ，所以总淋雨量：
cos (sin )(cos sin ),sin cos (sin )(cos sin ),sin bdw cu a u a v bdw u a a a av
v u a u v u v Q bdw cu a v u a bdw u a a a av v u a u
v u v +-+-⎧⋅=⋅≤⎪⎪=⎨
+--+⎪⋅=⋅>⎪⎩
若cos sin c a
a a -<0,即tana>c/a ，则v=usina 时Q 最小，否则，v=m
v 时Q 最小，
当0
30a =，tan a >0.2/1.5，v=2m/s ，Q ≈0.24L 最小，可与v=m v ，Q ≈0.93L 相比。
(4)以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对三作图（考虑 a的影响），并解释结果的实际意义
雨从背面吹来，只要不太小，满足tana>c/a（a=1.5m、c=0.2m时，> 即可），v=usina，Q 最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。
(5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化
再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化。
5.模型的评价
（1）在不考虑风向情况下：
此时，你的前后左右和上方都将淋雨。
人在行走中的淋雨量最大的大约为2.44升。
结论表明:淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小
（2）在考虑风向及雨量的情况下:
当v=usinθ时，Q取到最小.表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。
当v﹥usinθ，你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的胸膛。
6.模型的结果分析
综合上面的分析，我们得到的结论是：
1．如果雨是迎着你前进的方向落下，这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑。
2．如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制在雨中行的。
走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。
根据一般常识，我们所得到的结果是合理的且与我们的日常生活经验是一致的。
运用简单的数学工具，我们对日常生活中司空见惯的问题给予了定量的分析。
但同时必须指出的是，这里建立的简单数学模型与雨中行走的实际过程尚有距离，因为在建立数学模型的过程中我们忽略了一些相对次要的因素。
关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。
雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。
参考文献
[1] 姜启源谢金星叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2008.。