实验10 概率模型（2学时）（第9章 概率模型）1.（验证）报童的诀窍p302~304, 323（习题2）关于每天报纸购进量的优化模型：已知b 为每份报纸的购进价，a 为零售价，c 为退回价（a > b > c ），每天报纸的需求量为r 份的概率是f (r )(r =0,1,2,…)。

求每天购进量n 份，使日平均收入，即1()[()()()]()()()nr r n G n a b r b c n r f r a b nf r ∞==+=----+-∑∑达到最大。

视r 为连续变量，f (r )转化为概率密度函数p (r )，则所求n *满足*()n a bp r dr a c-=-⎰已知b =0.75, a =1, c =0.6，r 服从均值μ=500（份），均方差σ=50（份）的正态分布。

报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？[提示：normpdf, normcdf]要求：(1) 在同一图形窗口内绘制10()()ny n p r dr =⎰和2()a by n a c-=-的图形，观察其交点。

[提示] 22()2()r p r μσ--=，0()()()n np r dr p r dr p r dr -∞-∞=-⎰⎰⎰☆(1) 运行程序并给出结果：(2) 求方程0()na bp r dr a c-=-⎰的根n *（四舍五入取整），并求G (n *)。

mu=500;sigma=50;a=1; b=0.75; c=0.6;r=n+1;while (a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma)>1e-6r=r+1;endr=n+1:r;G=sum((a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma));r=0:n;G=G+sum(((a-b)*r-(b-c)*(n-r)).*normpdf(r,mu,sigma))☆(2) 运行程序并给出结果：2.（编程）轧钢中的浪费p307~310设要轧制长l =2.0m的成品钢材，由粗轧设备等因素决定的粗轧冷却后钢材长度的均方差σ=0.2m，问这时钢材长度的均值m应调整到多少使浪费最少。

平均每得到一根成品材所需钢材的长度为()()mJ mP m=其中，22()2()(), ()2x mlP m p x dx p xσπσ--∞==⎰求m使J(m)达到最小。

等价于求方程()()zzzλϕΦ=-的根z*。

其中：()z Φ是标准正态变量的分布函数，即 ()()zz y dy ϕ∞Φ=⎰()z ϕ是标准正态变量的概率密度函数，即22()z z ϕ-=*,,*z l m mlz σσμσλμλ-=⇒==-=(1) 绘制J (m )的图形（l =2, σ=0.2），观察其最小值的位置。

★(1) 给出程序和运行结果：(2) 求使J (m )达到最小值的m *。

由(1)可观察到J(m)达到最小值的区间。

分别用求无约束最小值的MATLAB 函数fminbnd, fminsearch, fminunc 求解，并比较结果。

★(2) 给出程序及运行结果（比较[310]）：(3) 在同一图形窗口内绘制1()()()z y z z ϕΦ=和2()y z z λ=-的图形，观察它们的交点。

（参考题1的(1)）★(3) 给出程序及运行结果（比较[309]图2）：z=-2:0.1:2;y1=(1-normcdf(z,0,1))./normpdf(z,0,1); l=2; sigma=0.2;(4)求方程()()zzzλϕΦ=-的根z*，并求m=l-σz*。

（参考题1的(2)）提示：由(3)得到的图形可观察到z*的大概位置。

★(4) 给出程序及运行结果（比较[310]）：3.（验证）航空公司的预订票策略p313~316模型如下：给定λ, n , p , b /g ，求m 使单位费用获得的平均利润J (m ) 最大。

∑--=---+-=11])()/1([1)(n m k k p n k m g b qm n m J λ约束条件为 1()(01)m n j j k k P m p αα---==≤<<∑其中：m 预订票数量的限额。

λ( < 1 ) 利润调节因子。

n 飞机容量。

p 每位乘客不按时前来登机的概率，q = 1 – p 。

b 每位被挤掉者获得的赔偿金。

g 机票价格。

b /g 赔偿金占机票价格的比例。

不按时前来登机的乘客数K 服从二项分布，其概率为p q p q p C k K P p k m k km k -=≤≤===-1,10,)(被挤掉的乘客数超过j 人的概率为∑---==1)(j n m k kj pm P（等价于m 位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过m – n – j – 1人）该模型无法解析地求解，我们设定几组数据，用程序作数值计算。

[提示：binopdf, binocdf]要求：(1)已知n=300，λ=0.6，p=0.05，b/g=0.2和0.4，取一组值m=300:2:330，求出对应的J(m)、P5(m)和P10(m)，程序如下。

（与教材p315表1 n=300时的计q=1-p; k=0:m-n-1;y=1/(lambda*n) *(q*m-(1+b_g)*sum((m-k-n).*binopdf(k,m,p)))-1;☆(1) 运行程序并给出结果（比较[315]表1(n=300)）：(2)对(1)中改变p=0.1和m=300:2:344，求对应的结果。

☆(2) 运行程序并给出结果（比较[315]表1(n=300)）：(3)对(1)中改变n=150和m=150:2:170，求对应结果。

（与教材时的计算结果比较。

）(4)对(1)中改变n=150、m=150:2:176和p=0.1，求对应结果。

注意！结果与教材相差较大，原因待查。

4.（编程）航空公司的预订票策略（改进）p316~317 已知:第2类乘客（t 人）都按时前来登机。

第1类乘客（m – t 人）不按时前来登机的乘客数K 服从二项分布，其概率为p q p q p C k K P p k t m k k t m k -=≤≤===---1,10,)(被挤掉的第1类乘客数超过j 人的概率为∑---==10)(j n m k k j pm P （等价于预订的第1类乘客中不按时前来登机的不超过( m– t ) – ( n – t ) – j – 1人）单位费用获得的平均利润为∑--=---+------=101])()/1()1([])1([1)(n m k k p n k m g b t p qm t n m J ββλ要求：已知n=300, λ=0.6, p=0.05, b/g=0.2, β=0.75，t=100，取一组值m=300:2:330，求出对应的J(m)、P5(m)和P10(m)。

参考实验10.3的程序，编写解决本问题的程序。

★给出编写的程序和运行结果：%9.6 航空公司的预订票策略（改进）function main()clear; clc; format short g;n=300; m=(300:2:330)'; p=0.05; %修改的参数lambda=0.6; % λ值b_g=0.2;t=100; beta=0.75;J1=zeros(size(m));for i=1:length(m)J1(i)=J(m(i),n,lambda,p,b_g,t,beta);endP5=binocdf(m-n-5-1,m-t,p); %二项分布P10=binocdf(m-n-10-1,m-t,p);round(10000*[m,J1,P5,P10])/10000 %显示结果function y=J(m,n,lambda,p,b_g,t,beta) %均是标量q=1-p; k=0:m-n-1;y=1/(lambda*(n-(1-beta)*t))...*(q*m-(1-beta-p)*t-(1+b_g)*sum((m-k-n).*binopdf(k,m-t,p)))-1;附1：实验提示附2：第9章概率模型[302]9.2 报童的诀窍[304]****本节完****[307]9.4 轧钢中的浪费[309] 题2(3)答案[310] 题2(2)(4)答案****本节完****[313]9.6 航空公司的预订票策略[317]****本节完****。