Ei
1
-
3
1
(
1
-
3)f
(
1
-
3) ult
1 O
双曲线应力－应变关系
• 切线弹性模量 Et 基于三轴排水试验建立起来的非线性模型，对于正常固 结粘性土、松砂及中密砂，具有应变硬化特征，偏应力 q=σ1-σ3与轴应变ε1之间的关系可以用双曲线进行拟合， 可表示为：
ζ1 ζ 3 ε1 a bε1
土的变形特性：
非线性和非弹性 塑性体积应变和剪胀性 塑性剪应变 硬化和软化 应力路径和应力历史对变形的影响 中主应力对变形的影响 高固结压力的影响 各向异性
在简单应力条件下，可以通过试验的方法确定土的 本构关系，但在复杂应力条件下试验就比较困难，因此， 根据简单应力条件下得到的结果，结合理论分析的方法 建立复杂应力条件下的本构关系，求得普遍形式的本构 方程。 弹性理论 弹塑性理论
R f ( ζ1 ζ 3 ) ζ3 2 1 K p 1 R S E a f L ( ζ ζ ) p 1 3 f ζ ζ3 a SL 1 ( ζ1 ζ 3 ) f
2
n
代入Et公式中后，得到：
ζ3 E t K E pa p a
第四章：土的本构理论
土的本构关系又称为本构模型，即描述土的应力－ 应变－关系的数学表达式。土的σ -ε 关系很复杂，具有 非线性、粘弹塑性，同时强度发挥程度、应力历史以及 土的组成状态和结构等对其都有影响。 已建立的本构模型很多，重要的有以下几类： 弹性模型-----Winkler、弹性半空间、分层地基模型 非线性弹性模型-----D-C模型 弹塑性模型------剑桥模型 粘弹性模型 边界面模型 内蕴时间模型
偏应变张量
由此得到B-G形式的本构关系：
球应力 偏应力
球应变
ζ m Bε v 3 Bε m sij 2Ge ij
偏应变
或合并： ζij 3Bεm δij 2Geij Dijkl εkl 或 ζ Dε
其中 或
2 Dijkl B G δij δkl 2Gδik δ jl 3
将轴应变ε1、Ei、 (σ1-σ3)ult的表达式代入到切线模量公式 里，得到： 应力水平
ζ3 Et K E pa p a
n
破坏应力(σ1-σ3)f可根据M-C破坏准则确定：
( ζ1 ζ 3 ) f 2c cos 2ζ 3 sin 1 sin
ζy ζz ζx 1 εx ν hh νvh ， γ xy η xy Eh Eh Ev Gh ζy ζz ζx 1 εy ν hh νvh ， γ yz η yz Eh Eh Ev Gv ζy ζz ζx 1 εz ν hv ν hv ， γ zx η zx Ev Eh Eh Gv
B 4G/ 3 B 2G/ 3 B 2G/ 3 0 0 0 B 4 G/ 3 B 2 G/ 3 0 0 0 B 4G/ 3 0 0 0 D 对 G 0 0 称 G 0 G
同样，独立的弹性常数只有2个，相互可以换算。
• 弹性常数 变形模量 E0：土的变形具有非线性特征，只有在一定 范围内才可以近似地应用线弹性模型，而且土的变形几 乎从开始就包含塑性变形，因此，土的弹性常数一般采 用变形模量。 压缩模量Es：变形模量E0是在无侧限条件下得到的， 压缩模量Es则是在有侧限条件下得到的，两者可以互换。
弹性模量E：车辆、振动荷载作用下，大部分变形是可 逆的弹性变形，采用压缩模量或变形模量式，计算结果 偏大，应采用弹性模量。
Gh
Eh E ， νhv h νvh 2(1 νhh ) Ev
各向同性介质
• E-ν形式的本构关系 材料在各向同性条件下，本构方程即为广义虎克定律：
1 1 ζ x ν (ζ y ζ z ) ， γ xy η xy E G 1 1 εy ζ y ν(ζz ζ x ) ， γ yz η yz E G 1 1 εz ζ z ν(ζx ζ y ) ， γ zx η zx E G εx
ζ m Bs εv 3 Bs εm sij 2Gs eij
σm 割线剪切模量 sij 切线剪切模量
切线体积模量
Bs Bs (εm )
Gs Gs (eij )
2eij
增量形式
dζ m 3 Bt dε m ds ij 2G t de ij
•次弹性模型 超弹性模型与Cauchy弹性模型都有与应力路径无关的假 定，应力-应变之间存在一一对应的关系。实际上，土的 变形与应力路径有关，次弹性模型放松要求，采用应力 或应变路径在增量意义上的最小弹性性质，本构方程为：







从中解出应力分量：
ζ x λev 2Gε x ， η xy Gγ xy ζ ij λεv δij 2Gεij ζ y λev 2Gε y ， η yz Gγ yz ， ζ Dε ζ z λev 2Gε z ， η zx Gγ zx
n
包含5个参数：KE、n、c、φ、Rf
2
R f (1 sin )(ζ1 ζ 3 ) 1 2 c cos 2 ζ sin 3
k、n为试验常数，正常固结粘性土，n=10，一般情况下 在0.2~1.0之间；k值随土类变化大，可能小于100，也可 能大于数千。
模型的一般说明
•Green超弹性模型 超弹性模型假定，材料在一定的应力或应变状态下，具 有唯一的能量密度函数Ω(σij)或W(εij)且二阶可微，本构 方程为：
ζ ij W Ω 或 εij εij ζ ij
将具有该性质的材料称超弹性材料。
增量型本构方程：
ζ ij
割线弹性张量
2W es dζ ij dεkl dεkl Dijkl dεkl εkl εij εkl εij 2Ω es dεij dζ kl dζ kl C ijkl dζ kl ζ kl ζ ij ζ kl
将ε1代入上式：
νt
G、F 、d为试验参数
G F lg (ζ 3 /pa ) d ( ζ1 ζ 3 ) 1 n K p ( ζ /p ) [ 1 R ( ζ ζ )( 1 sin )/( 2 c cos 2 ζ sin )] E a 3 a f 1 3 3
根据试验资料，Janbu提出Ei与围压σ3之间的关系：
ζ3 Ei ζ3 E i K E pa 或 lg lg K n lg E p p pa a a
n
为确定极限偏应力，引入破坏比Rf
Rf ( ζ1 ζ 3 ) f (ζ1 ζ 3 )ult
（Rf值一般为0.75~1.00）
4.1 线性弹性理论
线性弹性理论假定变形是可逆的，应力与应变一一对应。
横观同性介质（竖向与横向异性）
具有一个对称轴，如取z轴作为对称轴，与该轴垂直的xy 平面内各方向具有相同的弹性参数，再根据假定正应力 不引起剪应变，剪应力不引起正应力，一个剪应力分量 仅产生一个剪应变分量，在小应变假设下叠加原理，可 以得到本构方程：
λ 2G D
λ λ 2G 对
0 λ 0 0 0 νE λ λ 2G 0 0 0 (1 ν )(1 2ν ) ， G 0 0 E G 2(1 ν ) 称 G 0 G λ 0 0
对于各向同性材料，独立的弹性常数只有2个，另外，剪 应变不引起体积应变。
a、b：试验常数
1 将上式改写： ζ1 ζ 3 a/ε1 b 1 1 ( ζ ζ ) 或 b 令ε1→∞， 1 3 ult b (ζ1 ζ 3 )ult
偏应力极限值
在常规三轴试验里，通常σ3为常数，则切线模量可定义 为：
dζ1 d (ζ1 ζ 3 ) 1 bε1 a Et 2 dε1 dε1 a bε1 (a bε1 ) (a bε1 )2
模型评价与应用
由于在一定的荷载范围内，土的应力-应变曲线近似直 线，用线弹性模型进行分析简单易行，有些情况下能得 到满足精度要求的结果。 广义虎克定律未能反映土的压硬性和剪胀性，前者表 示应力球张量对应变偏张量的影响，后者反映应力偏张 量对应变球张量的影响。
4.2 非线性弹性理论
非线性是土的基本变形特性之一，非线性弹性模型考虑 了土的非线性特性，但与应力历史与应力路径无关，加 载与卸载仍按同一路径进行，变形是可逆的。
根据定义：
νt
dε3 f dε1 (1 dε1 )2
令ε1=0，得到初始切线泊桑比： νi f 根据试验，初始泊桑比与围压有关，假定如下：
ζ3 ν i G F lg p a
G、F 为试验参数
可以得到切线泊桑比的表达式：
νt νi G F lg (ζ 3 /pa ) (1 dε1 )2 (1 dε1 )2
破坏时的偏应力(σ1-σ3)f，砂性土取试验曲线Δσ-ε1的峰值， 粘性土取ε1=15%~20%对应的(σ1-σ3)值。
1
-
3
(
砂性土
1
-
3)f
粘性土
1 O
破坏时的偏应力值
• 切线泊桑比 νt（应用较少） 根据试验，有建议轴应变与侧向应变之间的关系为：
ε3 ε1 f 1 dε1
f、d 为试验参数
超弹性模型适用于比例加载情况。 •Cauchy弹性模型 模型假定当前的应力或应变张量唯一地取决于当前的应 变或应力张量，与到达此应变或应力的历史无关。本构 方程为：