解：设 1 (1,0,0,0), 2 (0,1,0,0), 3 (0,0,1,0), 4 (0,0,0,1)
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
或
1 1 1 11
(1,2,3,4 )
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
③
又由基 1, 2 ,L , n到1,2 ,L ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B，即 (1,2 ,L ,n ) (1, 2 ,L , n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
(1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )BA
(1,2 ,L ,n ) (1,2 ,L ,n ) AB
Q 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 都是线性无关的,
a22 L an2
L L L
a2n x2
L ann
xMn
⑥
x1 a11 a12 L a1n 1 x1
或
x2 xMn
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
x2
xMn
⑦
称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．
例1 在Pn中，求由基 1,2,L ,n 到基1,2,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的
的基变换公式．
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
证明：若 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 为V的两组基,
且由基 1,2 ,L ,n到1, 2 ,L , n 的过渡矩阵为A，
即 (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
(1,2 ,L ,n )AB
三、坐标变换
1、定义：V为数域P上n维线性空间 1, 2 ,L , n;
1, 2 ,L , n 为V中的两组基，且
a11 a12 L a1n
(1, 2 ,L
, n )
(1, 2 ,L
,
n
)
a21 L
a22 L
L L
a2n L⑤Βιβλιοθήκη an1 an2 L ann
设 V且ξ在基 1, 2 ,L , n与基 1, 2 ,L , n
1 0 0
1 1
1 0
11
又 A 3E11 5E12, 4E21 2E22
设A在基 F11, F12,F21, F22下的坐标为( x1, x2 , x3 , x4 ),
x1 1 1 1 11 3
则
x2 x3 x4
0 0 0
1 0 0
1 1 0
1 11
5
4 2
1 1 0 0 3 8
0 0 0
1 0 0
1 1 0
0 11
5 4 2
1 2 2
即A在基 F11, F12,F21, F22下的坐标为(8,1, 2, 2).
作业
P274 ９.３) 10.
AB BA E. 即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.
反过来，设 A (aij )nn 为P上任一可逆矩阵，
任取V的一组基 1,2 ,L ,n ,
n
令 j aiji , j 1,2,L , n
i 1
于是有， (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
由A可逆，有 (1,2,L ,n ) (1, 2,L , n )A1
1
0 1
，
2 0 2 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
1 0 1
1 2 2
1 1 2
3
1 2
从而有 (1,2,3,4 )
1 1 1 11 2 0 2 1
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
1 1 1 11 2 0 2 1
, n )
(1, 2 ,L
,
n
)
a21 L
a22 L
L L
a2n L
②
an1 an2 L ann
则称矩阵
a11 a12 L
A
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a1n
a2n L ann
为由基1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基 1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n
(a1,a2 ,L ,an )
设 在基 1,2 ,L ,n下的坐标为 ( x1, x2 ,L , xn )，则
x1 x2 xMn
1 1 0 L 0
0 1 1 L 0
0 0 1 L 0
L L L L L
0 0 0 L 1
a1 a2 aMn
a1 a2 a1
M an an1
所以 在基 1,2 ,L ,n 下的坐标为
(a1,a2 a1,L ,an an1 )
例2 在P4中，求由基1,2,3,4 到基1,2,3,4
的过渡矩阵，其中
1 (1,2, 1,0) 2 (1, 1,1,1) 3 (1,2,1,1) 4 (1,1,0,1)
1 (2,1,0,1) 2 (0,1, 2, 2) 3 (2,1,1, 2) 4 (1,3,1, 2)
二、基变换
1、定义
设V为数域P上n维线性空间，1, 2 ,L , n ； 1, 2 ,L , n 为V中的两组基，若
1
a11 1
a21 2
L
an1 n
Ln2
L
a12 1
LL
a1n 1
L
a22 2 L
LLLL
a2n 2 L
L
an2 n
LL
ann n
①
即，
a11 a12 L a1n
(1, 2 ,L
并求矩阵 A
3 4
5 2
在基 F11, F12 , F21, F2下2 的矩阵.
解：
Q
F11 E11
F12 F21 F22
E11 E11 E11
E12 E12 E12
E21 E21
E22
1 1 1 1
(
F11
,
F12,
F21
,
F22
)
(
E11
,
E12,
E21
,
E22
)
0 0 0
L 0
L 0
LL 0L
L 1
故，由基 1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 L 0
1 1 L 0
L1
L 1
L L
L 1
由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 0 L 0
1 1 0 L 0
0 1 1 L 0
L 0
L 0
L 0
L L
L 1
(a1,a2 ,L ,an )在基 1, 2 ,L , n下的坐标就是
3）若由基1,2 ,L ,n到基1, 2 ,L , n过渡矩阵为A, 由基 1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n过渡矩阵为B，则 由基 1,2 ,L ,n到基 1, 2 ,L , n 过渡矩阵为AB.
事实上,若 (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
( 1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )B 则有，( 1, 2 ,L , n ) ((1,2 ,L ,n ) A)B
b1 a1 b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2 M
(1,2 ,L
,
n
)
b2 M
a2 M
b2 M
an
bn an bn
2) 1,2 ,L ,n；1, 2 ,L , n 为V中的两组向量，
矩阵 A, B P nn，则
((1,2 ,L ,n )A)B (1,2,L ,n )( AB)；
(1
,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
1 0 0 1
(1
,2
,3
,4
)
1 0 0
1 1 0
0 1 1
1
1 0
∴由基 1,2,3,4 到基1,2,3,4 的过渡矩阵为
1 0 0 1
1 1 0 1
0 0
1 0
1 1
1 0
练习：已知 P 22 的两组基：
1)1,2 ,L ,n V ,a1,a2 ,L ,an ,b1,b2 ,L ,bn P
a1
b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2 M
(1,2 ,L
,
n
)
b2 M
an
bn a1 b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2
b2 M
若1,2 ,L ,n 线性无关，则
an bn
a1
1 a111 a212 L an1n
2
L
n