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5 14 11 7 3 72 2 1 2 3 1 1 139 14 20 7
1 3 1 2
1 4 7
10 7 2 7
行变换
16 7 3
4 7
2
5 14
4 17 14
即得
6 39 20 5 4 1 22 32 40 1 CA B . 14 28 42 56 14 5 8 17 8
1
故过渡矩阵为 A-1B ，坐标变换公式为
x1 x1 x x2 1 2 B A x x 3 3 x x 4 4
用矩阵的初等变换求 B-1A : 把矩阵 ( B | A ) 中的 B 变成 E , 则 A 即变成 B-1A . 计算如下:
2 1 ( B | A) 0 1 0 1 2 2 2 1 1 2 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1
行变换
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
矩阵 A 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵 A 是可逆的.
3. 运算规律
设 1 , 2 , … , n 和 1 , 2 , … , n 是 V 中两个 向量组， A = ( aij ) , B= ( bij ) 是两个 n n 矩阵，则 1) ((1 , 2 , … , n )A)B=(1 , 2 , … , n )(AB)
由于 1 , 2 , … , n 线性无关, 故即有关系式 (2).
证毕
这个定理的逆命题也成立. 即若任一元素的 两种坐标满足坐标变换公式 (2), 则两个基满足变 换公式 (1).
三、举例
例 1 在 P 4 中，求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基
1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求向量 在基1, 2,
称 (1) 为基变换公式.
2. 基变换公式的矩阵形式
为了写起来方便，我们引入一种形式的写法. 把基写成一个 1 n 矩阵，于是 (1) 可写成如下矩 阵形式：
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n ,, n ) (1 , 2 ,, n ) (1, 2 a a a nn n1 n 2
1 3 3 1 行变换 1 2 2 4
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
109 85 4 85 . 8 5 20 17
所以向量 在基 1, 2,
3 , 4下的坐标为
(2)
证 因
x1 x1 x2 x2 , 2 ,, n ) (1 , 2 , , n ) (1 x x n n
x1 x2 (1 , 2 , , n ) A x n
1 6 3 3 A 3 3 1 7 5 2 0 1
行变换
1 0 0 33 0 1 0 82 0 0 1 154
所以
33 1 822 154 3
则所求坐标为
(33, 82, 154)T
x1 x2 x n
x1 x2 A , 或 x n
x1 x1 x x2 1 2 A x x n n
3 2
求由基1 , 2 , … , n 到 1 , 2 , … , n的过渡矩阵 和坐标变换公式.
解 将 1 , 2 , 3 , 4 用 1 , 2 , 3 , 4 表示.
由
(1,2 ,3 ,4 ) ( x , x , x, 1) A
3 2
(1, 2 , 3 , 4 ) ( x , x , x, 1)B
3 2
其中
1 1 1 1 2 1 2 1 A 1 1 1 0 0 1 1 1
2 1 B 0 1
0 2 1 1 2 1 2 2
1 3 1 2
得
( 1, 2 , 3 , 4 ) (1,2 ,3 ,4 ) A B
0 1 0 1
1 1 0 1
1 0 0 1
1 0 1 1
即得
0 1 1 1 1 1 0 0 1 A B 0 0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 x1 x1 1 1 0 0 x 2 x2 x 0 x 0 0 1 3 3 x 1 1 1 1 x 4 4
二、坐标变换公式
定理2 设 Vn 中的元素 , 在基 1 , 2 , …, n
下的坐标为 (x1 , x2 , … , xn)T , 在基 1, 2 , … , n 下的坐标为 (x1 , x2 , … , xn )T. 若两个基满足关 系式 (1) , 则有坐标变换公式
2) (1 , 2 , … , n )A + (1 , 2 , … , n )B
= (1 , 2 , … , n ) (A+B) ； 3) (1 , 2 , … , n )A + (1 , 2 , … , n )A = ( 1 + 1 , 2 + 2 , … , n + n ) A .
3 , 4 下的坐标. 设
1 (1,2,2,1) , (1,1,3,3) , 2 3 (1,1,1,2) , 4 (3,2,0,1) , (3,1,2,4) .
1 (1,1,2,0) , (2,1,3,1) , 2 3 (2,2,1,1) , 4 (1,3,1,2) ,
1. 定义
定义12 设 1 , 2 , … , n 与1 , 2 , …, n 是
n维线性空间 V 中两组基，它们的关系是
1 a111 a21 2 an1 n , a a a , 2 12 1 22 2 n2 n (1) a1n 1 a2 n 2 ann n . n
矩阵
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A a a a nn n1 n 2
称为由基 1 , 2 , … , n 到1 , 2 , …, n 的过渡矩
阵. 由于1 , 2 , …, n 是线性无关的，所以过渡
用矩阵的初等变换求 B-1A : 把矩阵 ( B | A ) 中的 B 变成 E , 则 A 即变成 B-1A . 计算如下:
1 1 3 1 1 2 1 1 2 1 ( A | B) 2 3 1 0 2 2 1 0 1 3
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
例 3 在 P[ x ]4 中取两个基
1 x 2x x,
3 2
2 x x x 1,
3 2
3 x3 2x2 x 1, 4 x3 x 2 1;
及
1 2x x 1,
3 2
2 x 2x 2,
2 3 2
3 2x x x 2, 4 x 3x x 2.
求向量 在基 1 , 2 , 3 , 4下的坐标, 即用基 1,
2 , 3 , 4表示向量 . 用矩阵的初等行变换来
求解: 先构造矩阵 M = ( 1 , 2 , 3 , 4, ) , 再对矩阵 M 实施初等行变换 , 使之成为行最简形 矩阵即得.
2 2 1 1 2 1 M 2 3 1 0 1 1
3 3 1 0
解 求向量 在基 1 , 2 , 3 下的坐标,即
用基 1 , 2 , 3 表示向量 . 用矩阵的初等行变
换来求解: 先构造矩阵 A = (1 , 2 , 3 , ),再对