第六章 狭义相对论 习 题 课
一、选择题 1.下列几种说法： （1）所有惯性系对物理基本规律都是等价的。 （2）在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状 态无关。 （3）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播 速度都相同。其中哪些说法是正确的？ （A）只有（1）、（2）是正确的。 （B）只有（1）、（3）是正确的。 （C）只有（2）、（3）是正确的。 （D）三种说法都是正确的。 [ D ]
（D） 0 ; l l 0
5.（1）对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点 、同一时刻的两个事件,对于相对该惯性系作匀速直线运 动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同 时发生？ （ 2 ）在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两 个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ （A）（1）同时，（2）不同时。 （B）（1）不同时，（2）同时。 （C）（1）同时，（2）同时。 （D）（1）不同时，（2）不同时。 [ A ]
c 或由： 2 2 1 u / c u t 2 x c t t 2 t 1 270 s c 1 u2 / c 2 t
2
x ct
270(m )
从这道题也可以看出，洛仑兹变换是建立在光速不 变原理这个基础之上的。
12）一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米 8 -1 2.6× 10· 尺的长度为0.5m。则此米尺以速度υ= m s 接近观察者。 解: 匀速运动着的米尺的长度为动长 l
c2 c2
（C） 0 ; l l 0
4. 两个惯性系S 和 S ′,沿x（x ′)轴方向作相对运动，相 对速度为 u ，设在 S ′系中某点先后发生的两个事件，用 固定于该系的钟测出两事件的时间间隔为固有时τ0 。而 用固定在 S 系的钟测出这两个事件的时间间隔为τ 。又 在S ′系x ′轴上放置一固有长度为 l 0 的细杆，从S 系测得 此杆的长度为l ，则 [ D ] （A） 0 ; l l 0 （B） 0 ; l l 0
a a 1 u c2 2 (0.8c ) a 1 c2 0.6a
K
a a
u K′
o
o
x
x
垂直于运动方向一边边长仍为a 不变。于是正方形的面 积被测得为: S aa 0.6a 2
7. 关于同时性有人提出以下一些结论，其中哪一个是 正确的？ [ ] C （A）在一惯性系中同时发生的两个事件，在另一惯性 系中一定不同时发生。 （B）在一惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在 另一惯性系中一定同时发生。 （C）在一惯性系中同一地点同时发生的两个事件，在 另一惯性系中一定同时发生。 （D）在一惯性系中不同地点不同时发生的两个事件， 在另一惯性系中一定不同时发生。 分析： u
解: τ0 = 2.6×10-8s ,
u= 0.8 c 8 0 8 2 . 6 10 4 . 33 10 ( s ) t 2 2 1(0.8c ) c 1 u2 c 2
18）狭义相对论中，一质点的m与速度υ的关系式为 ；其动能的表达式为 m
E k mc m0 c
t
0
1 u2 c 2

2 10 5 1.29 10 (s) 2 2 1(0.998c ) c
6
17）π+介子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测 得平均寿命是2.6×10-8s，如果它相对实验室以0.8c（c 为真空中光速）的速度运动，那么实验室坐标系中测得 4.33×10-8 的π+介子的寿命是 。s
2.一火箭的固有长度为L，相对于地面作匀速直线运动 的速度为υ1，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端 上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为υ2的子弹， 在火箭上测子弹从射出到击中靶的时间间隔是： L L L [ B] （A） （B） （C） 1 2 2 2 1 L （D） 2 1 1 ( 1 c ) 分析：从火箭上测，子弹从射出到击中靶的时间间隔 火箭上测火箭前后两端 的距离 t 子弹相对于火箭的速度
2
m0
1
2
c。
2
2
10.（P41）质子在加速器中被加速，当其动能为静止 能量的3倍时，其质量为静止质的 4 倍。 （P39选9 ） 解：动能
E k mc m0c 静能 E0 = m0 c2 Ek = 3E0
2
2
即： m c 2 - m0 c 2 = 3 m0 c2
m 4m0
20）观察者甲以0.8 c的速度(c为真空中光速)相对于静 止的观察者乙运动，若甲携带一质量为1kg的物体，则 （1）甲测得此物体的总能量为 9 × 1016J ； （2）乙测得此物体的总能量为 1.5 × 1017J 。
E0 = m0 c2
2
2
m
m0
1 c
2
2
Ek = 4E0
即： m c2- m0 c2 =4 m0 c2
m 5m0
9. 一宇宙飞船相对地球以0.8c（c表示真空中光速）的 速度飞行。一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者 测得飞船长为90m，地球上的观察者测得光脉冲从船尾 发出和到达船头两个事件的空间间隔为： [ ] C (A) 90m (B) 54m (C) 270m (D)150m y y y u L S′ 解:
t 2 t1


( t 2 t1 )
c 2 2 1 u / c
2
( x 2 x1 )
8. （P39）质子在加速器中被加速，当其动能为静止能 量的四倍时，其质量为静止质的： [A ] （A）5倍 （B） 6倍 （C） 4倍 （D） 8倍
解: 动能
静能
E k mc m0c
u l sinθ △x´ = l´cos θ´ S′ 0 S x A 2 45 o u x x 1 2 o x c 2 u y y l sin l cos 1 2 c 0 y l sin 450 tan 45 tan 2 u x l cos 450 1 u2 1
u ( t t ) 分析： 2 ( x 2 x1 ) 2 1 c t1 t2 2 2 1 u / c
（1）若 S 系中A、B 同时（t2 = t1 ) ，同地（x2 = x1 ）， 则 t2′= t1′，在S′系中同时。 （2）若S系中A、B 同时（t2 = t1 )，不同地（x2≠ x1）， 则 t2′≠t1′，在S′系中不同时。
光子的动量大小
p E / c 6.63 10 / 3 10 34 2.21 10 (kg m/s )
2
c ?
2
1 c
1)
固有寿命为实验室测量到的寿命的1/n，即
0 n 0 1 c
2 2
1 1 c n
2 2
频率为100MHz的一个光子的能量是： ，动量大小是: 解： 光子的能量 。
E h 34 3 6.63 10 100 10 6.63 1026 ( J )
S S′
飞船S´: x x 2 x1 90m t t 2 t1 (90 c )s
o
o●
●
, t1 ) A( x1 A( x1 , t1 )
u
, t1 ) A( x1 x o●
, t2 ) B( x2 x
● ●
B( x2 , t2 ) x
t 0 4(年)
设飞船速度为 u ，则从地球上观测飞船抵达牛郎星的时 间为运动时间 L
t
由时钟延缓效应：
t
解得：
t 0
1 u
8 1
u
2
c
2
L u
u 2.91 10 (m/s )
15）静止时边长为 50cm 的立方体，当它沿着与它的 一个棱边平行的方向相对于地面以匀速度2.4×108 m · s-1 0.075m 运动时，在地面上测得它的体积是 。3 y y 在地面观察，立方体平行 解: u a 于运动方向的边长将被测为长： S′
l l0 1 u c
2
2
该观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，即他观测 杆长l≤a 2 2
l l0 1 u c a
2 2
取等号 l = a ，有： 解得：
l0 1 u c a
2 2 0
u c 1 a l
14）牛郎星距离地球16光年，宇宙飞船若以 8 1 2.91 10 m/s 的匀速度飞行，将用4年的时间（宇 宙飞船上的钟指示的时间）抵达牛郎星。 解: 宇宙飞船上的钟指示的时间为固有时
x ut 由 x 地球S: 1 u2 / c 2 x u t x x2 x1 270 ( m ) 1 u2 / c 2
注意： 这里90m 确实是飞船的固有长度，但题目所要求的 空间间隔却不是地球上的观察者测量的飞船长度（动长 为54m ）!（因为测量运动物体长度两端位置须同时记 录） t u x
E mc
2
8 2
1 (0.8c ) 2 c 2
21）已知一静止质量为 m0 的粒子，其固有寿命为实 验室测量到的寿命的1/n，则粒子的动能是： 2 。 2 2 m0 c ( n 1) 解：粒子的动能
2 2
m m0
2
1 c
1
2 2
E k mc m0c m0 c (
1
2 2 2 l u u l l 1 c2 1 c2 2 l 2 2 2 8 l 0 . 5 u (1 2 )c 3 10 1 2 1 l 8 1 2.6 10 (ms )
2 u 动长 原长 1 c 2
13）一门宽为a，今有一固有长度为 l 0 ( l 0 > a）的细 杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动，若 站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门， 则该杆相对于门的运动速率u至少为 c 1 (a 。 l0 )2 解: 站在门外的观察者相对于门静止，他看细杆是匀速 运动着的，观测其长度为动长l