习题七一、选择题1．在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？ ［ ］ （1）一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速。

（2）质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状 态而改变的。

（3）在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切 惯性系中也是同时发生的。

（4）惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看 到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些。

（Ａ）（１），（３），（４）； （Ｂ）（１），（２），（４）； （Ｃ）（１），（２），（３）； （Ｄ）（２），（３），（４）。

答案：B解：根据公式 2212212121)(-)(c v x x c vt t t t ''---=-可知说法（3）是不正确的，而（１），（２），（４）说法是正确的。

2．两个惯性系S 和S '，沿x (x ')轴方向作匀速相对运动，相对速度为u 。

设在S '系中某点先后发生两个事件，用静止于该系的钟测出两事件的时间间隔为0τ ，而用固定在S 系的钟测出这两个事件的时间间隔为τ 。

又在S '系x '轴上放置一静止于该系且长度为0l 的细杆，从S 系测得此杆的长度为l ，则［ ］（A ）00<; l l ττ<； （B ）00<; l l ττ>； （C ）00>; l l ττ>； （D ）00>; l l ττ< 答案：Ｄ解：由公式τ=和公式l l =00>; l l ττ<。

3．一火箭的固有长度为L ，相对于地面作匀速直线运动的速度为A v ，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为2v 的子弹．在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是（c 表示真空中光速）。

[ ］（Ａ）21v v L +； （Ｂ）2v L ； （Ｃ）21v v L-； （Ｄ）211)(1c v v L -。

答案：B解：根据固有长度的定义，可知火箭相对观测者长度为 L ，而2v 是子弹相对于观测者的速度，因而选项（B ）是正确的。

4．质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的4倍时，其质量为静止质量的 ［ ］（A ）4倍； （B ）5倍； （C ）6倍； （D ）8倍。

答案：B 解：由22222000045k mc E m c m c m c m c =+=+=，得05m m =。

5．有一直尺固定在K '系中，它与Ox '轴的夹角45θ'=︒，如果K '系以匀速度沿Ox 方向相对于K 系运动，K 系中观察者测得该尺与Ox 轴的夹角［ ］（A ）大于45︒； （B ）小于45︒； （C ）等于45︒；（D ）当K '系沿Ox 正方向运动时大于45︒，而当K '系沿Ox 负方向运动时小于45︒ 答案：A解：K '系以匀速度沿Ox 方向相对于K 系运动，则K 系测量的水平长度为2201l l u c '=-中，01cos 452/2l =⨯=为固有长度，K 系测量长度显然要缩短，但在K 系和K 系y 方向测量的长度不变，因此，K 系中观察者测得该尺与Ox 轴的夹角要大于45︒。

二、填空题1．设S '系以速率0.6v c =相对于S 系沿xx '轴运动，且在0t t '==时，0x x '==。

（1）若有一事件，在S 系中发生于72.010s t -=⨯， 50m x =处，则该事件在S '系中发生时刻为__________________；（2）如有另一事件发生于S 系中73.010s t -=⨯，10m x =处，在S '系中测得这两个事件的时间间隔为__________________。

答案： 71.2510s -⨯；72.2510s -⨯。

解：（1）112722- 1.2510s 1v t x c t v c -'==⨯-； （2）2227222- 3.510s 1v t x c t v c -'==⨯- 所以721 2.2510s t t t -'''∆=-=⨯ 2．设有两个参考系S 和S '，它们的原点在0t t '==时重合在一起。

有一事件，在S '系中发生在88.010s t -'=⨯，60m x '=，0y '=，0z '=处。

若S '系相对于S 系以速率0.6v c =沿xx '轴运动，问该事件在S 系中的时空坐标x =______________；y = _____________；z = ____________；t = _______________。

答案：93m x =；0y =；0z =；72.510s t -=⨯。

解：2293 m 1/x vt x v c ''+==-；y y '=；z z '=；2722 2.510s 1vx t c t v c -''+==⨯-。

3．一门宽为a 。

今有一固有长度为0l (0l a >)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动，若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u 至少为___________________。

答案：20)/(1l a c -。

解：根据运动杆长度收缩公式 20)/(1c u l l -=则 201(/)a l u c ≥-， 解得 201(/)u c a l ≥-4．设想有一粒子以0.050c 的速率相对实验室参考系运动，此粒子衰变时发射一个电子，电子的速率为0.80c ，电子速度的方向与粒子运动方向相同。

则电子相对实验室参考系的速度为___________________。

答案：0.817c x u =。

解：取实验室为S 系，运动粒子为S '系, 则电子相对S 系的速度为20.817 c 1/x x x u v u u v c'+=='+5．已知 μ 子的静止能量为 105.7 MeV ，平均寿命为 82.210s -⨯。

试问动能为 150 MeV 的 μ 子的速度v 是_________________；平均寿命τ 是_________________。

答案：0.91c ；85.3110s -⨯。

解：据相对论动能公式 202c m mc E K -=得 2021(1)1(/)K E m c v c =-- 即22011 1.4191(/)KE m c v c -==- 解得0.91v c =平均寿命为 8025.3110s 1(/)v c ττ-==⨯-三、计算题1．固定在惯性系K '中的刚性棒沿x '轴放置，长度120x x L '-'=．由K 系(K '系相对于K 系沿正x 方向以匀速v 运动)观测者测得棒长是12x x L -=，那么L 和L 0的关系可由下列式子推得：根据洛仑兹变换 1121(/)x vt x v c ''+=-，2221(/)x vt x v c ''+=-，得 212121(/)x x x x v c ''--=-即021(/)L L v c =-显然这个结果与动尺缩短的相对论结论是矛盾的，请改正。

答案：以上的推导不正确。

解：因为在K 系中棒在运动，必须同时测量棒的两端，以确定其长度，但在K '系中看来，这将是不同时的，所以在以上推导中t '不可能相同，应改为22222(/)1(/)t v c x t v c -'=-， 21112(/)1(/)t v c x t v c -'=-且 12t t =由以上关系可得 21212121[()()]1(/)x x x x v t t v c ''''-=⨯-+-- 2112221()1(/)vt t x x c v c ''-=-- 消去 12t t '-'并整理得 221211(/)()x x v c x x ''-=-- 即201(/)L L v c =-这才是动尺缩短的结论( L < L 0 ) 。

2．在惯性系S 中，某事件A 发生在1x 处，62.010s -⨯后，另一事件B 发生在2x 处，已知21300m x x -=。

问：（1）能否找到一个相对S 系作匀速直线运动的参照系S '，使在S '系中，两事件发生于同一地点？ （2）在S '系中，上述两事件之间的时间间隔为多少？ 答案：（1）可以，其运动速率为0.50c ；（2）61.7310s t -'∆=⨯。

解：（1）令210x x ''-=，由212121221/x x v c''--可得S '的运动速度为82121()1.5010m /s 0.50()x x v c t t -==⨯=-（2）21212212122121()()[1-]()-()(x x v v t t t t x x t t t t ----''-==-将v 值代入，得621 1.7310s t t -''-=⨯3．在S 系中有一长为0l 的棒沿x 铀放置，并以速率u 沿xx '轴运动。

若有一S '系以速率v 相对S 系沿x 轴运动，试问在S '系中测得此棒的长度为多少？ 答案：1222220)])([(v c u c uvc l l ---=。

解：设u '是棒相对观察者的速度，v 为S ’系相对S 系的速度，则2()1/u v u uv c-'=-l l =解上述两式，可得21222220)])([(v c u c uvc l l ---=4．观测者甲和乙分别静止于两个惯性参照系K 和K '中，甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为4 s ，而乙测得这两个事件的时间间隔为5 s ，求：（1）K '相对于K 的运动速度； （2）乙测得这两个事件发生的地点的距离。

答案：（1）81.810m/s v =⨯；（2）8910m x '∆=⨯。

解：设K '相对于K 运动的速度为v 沿x (x ')轴方向（1）因两个事件在K 系中同一点发生，12x x =，则21t t ''-=解得 21/282121()3[1] 1.810m/s ()5t t v c c t t -=-==⨯''- （2）1x '=2x '= 由题 12x x = 则812213()910m 4x x c t t ''-==-=⨯ 或21t t ''-=812910m x x ''-==⨯5．若一电子的总能量为5.0MeV ，求该电子的静能、动能、动量和速率。