x
j
)dx.
(1.7)
定理1
求积公式
ab f
( x)dx
n
wk
fk至少具有n次代数精度
k 0
它是插值型求积公式.
四、求积公式的余项
若求积公式
b
f (x)dx
a
n
wk fk的代数精度为m, 则其余项
k 0
R[ f ]
b
f (x)dx
a
n
wk fk Kf (m1) (),
k 0
a,b.
定义2 在求积公式(1.3)中, 若
lim
n
n
wk
k 0
f
( xk
)
ab
f
(x)dx,
h0
其中h max(xi xi1),则称求积公式(1.3)是收敛的.
1in
设f (xk )有误差k , 即f (xk ) ~fk k (k 0,1,, n), 则有
| In ( f ) In ( ~f ) |
12
(a,b).
2. 中矩形公式的余项
b f (x)dx f (a b)(b a), 代数精度为1.
a
2
K
1 2
1
3
(b3
a3)
(b
a)
a
2
b
2
(b
a)3 24
中矩形公式的余项 : R[ f ] (b a)3 f ''(),
24
(a,b).
五、求积公式的收敛性和稳定性
wk fk
k 0
1 1 (m 1)! m
2
(bm2
am2 )
n k 0
wk
xm1 k
f
(m1) ().
1. 梯形公式的余项
b f (x)dx [ f (a) f (b)] b a , 代数精度为1.
a
2
K
1 2
1 3
(b3
a3)
b
2
a
(a2
b2
)
(b a)3 12
梯形公式的余项 : R[ f ] (b a)3 f ''(),
这是因为, 当 f (xk ) fk (k 0, , n)时, 有
n
n
| Rn | wk f (xk ) f (xk ) wk (b a) .
k 0
k 0
§2 牛顿—柯特斯公式
一、Newton-Cotes公式的导出
将求积区间[a,b]做n等分，步长h b a ,在等距节点
第4章 数值积分和数值微分
§1 引 言
一、数值求积的基本思想
问题的提出和解决办法:
I ab f (x)dx. ab f (x)dx F (b) F (a).
ab f (x)dx f ( )(b a).
梯形公式 ab
中矩形公式
f (x)dx
ab f (x)dx
[f
(a) f (a
2
f (b)]b b)(b
考察辛普森公式
S b a[ f (a) 4 f (a b) f (b)].
6
2
定理3 若n为偶数,则n阶N C公式至少有n 1次代数精度.
三、几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项
1. 辛普森公式的余项（代数精度为3）
将x4代入R2[ f ] I S
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)] Kf (4) ()
)!0n
n
(t
j0
j)dt.
jk
jk
(2.2)
当n 1时, 得到梯形公式
ab
f
( x)dx
T
b a[ 2
f
(a)
f
(b)],
当n 2时, 得到抛物线公式, 也称为辛普森(Simpson)公式
ab
f
( x)dx
S
b
6
a[
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)]，
(2.3)
当n 4时,得到柯特斯(cotes)公式
a
2 a).
.
(1.1) (1.2)
一般地, 求积公式
ab
f
( x)dx
n
wk
fk ,
(1.3)
k 0
通常称为机械求积公式.
二、代数精度的概念
定义1 若一个求积公式对于所有次数不超过m的多项式
都准确成立,而对于某一个m 1次的多项式等式不准确成 立, 则称该求积公式具有m次代数精度. 练习 设有求积公式
其中K不依赖于f (x).
由于求积公式的代数精度为m,因此R[ x m1 ]不等于0,
因此
R[xm1]
b xm1dx
a
n
wk
x m 1 k
K
(m
1) !,
k 0
K =
1 1 (m 1)! m
2
(bm2
am2)
n k 0
wk
xm1 k
,
b
n
R[ f ] f (x)dx a
xk
a
kh上的插值型求积公式
ab
f
(
x)dx
(b
a)
n
C(kn)
n
ab
fk ,
n
f (x)dx k fk
wk ablkk(x0)dx(2.1)
k 0
称为Newton- Cotes公式，C(kn)称为Cotes系数.
作变换x a th，则有
C(kn)
h b
a
0n
nt
j0k
j dt j
(1)nk nk!(n k
k 0
ab f (x)dx abLn (x)dx
n
ablk (x)dx
fk ,
k 0
即得求积公式
ab f (x)dx
n
wk
fk ,
其中wk ablk (x)dx.
k 0
称为插值型求积公式.
(1.5)
它的余项为
R[
f
]
ab
f
(x)
Ln
(x)dx
ab
f (n1) ( )
(n 1)!
n
(x
j0
n
wk
[
f
(
xk
)
~fk
].
定义3
若
0,
k 0
0,只要
f (xk )
~fk
(k
0,,n), 就有
| In ( f ) In ( ~f ) |
n
wk
[
f
(
xk
)
~f (
xk
)]
,
k 0
则称求积公式(1.3)是稳定的.
定理2 若求积公式(1.3)中系数wk （0 0,1,,n),则求积公式
是稳定的.
11 f (x)dx w0 f (1) w1 f (0) w2 f (1)
试确定系数w0, w1, w2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
f1,, fn，就有拉格朗日插值多项式
得到
n
Ln (x) lk (x) fk
C
b a[7 90
f
( x0)Fra bibliotek32f
(
x1)
12
f
(
x2 )
32
f
( x3 )
7
f
( x4
)],
其中xk
a kh,h
b a. 4
( 2.4)
柯特斯系数表. n 8时C(kn)出现负值, N C公式不稳定.
二、 Newton-Cotes公式的代数精度
由定理1知,n阶N C公式至少n次代数精度.
a
6
2
余项R2
[
f
]
ba 180
b
a
4
2
f
(4) (),
[a,b].
2. 柯特斯公式的余项（代数精度为5）
若f (6) (x)在[a,b]上连续, 则柯特斯公式的余项为
R4[
f
]
I
C
2(b a) 945
b
a 6
4
f
(6) (),