数值积分与数值微分习题课一、已知012113,,424x x x ===，给出以这3个点为求积节点在[]0.1上的插值型求积公式解：过这3个点的插值多项式基函数为()()()()()()()()()()()()()()()()120201020212101201222021120,0,1,2k k x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x A l x dx k --=----=----=--==⎰()()()()()()()()()()()()111200001021102100101210120202113224111334244131441113324241142x x x x x x A dx dx x x x x x x x x x x A dx dx x x x x x x x x x x A dx x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭===---⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎝==--⎰⎰⎰⎰⎰102313134442dx ⎪⎭=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 故所求的插值型求积公式为()1211123343234f x dx f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰二、确定求积公式()()(11158059f x dx f f f -⎡⎤≈++⎣⎦⎰的代数精度，它是Gauss 公式吗？证明：求积公式中系数与节点全部给定，直接检验依次取()23451,,,,,f x x x x x x =，有[](111112151815191058059dx xdx --==⨯+⨯+⨯⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎣⎦⎰⎰((((221221331331441441551551215805391058059215805591058059x dx x dx x dx x dx ----⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰本题已经达到2n-1=5。

故它是Gauss 公式。

三、试应用复合梯形公式计算积分2112I dx x=⎰要求误差不超过310-，并把计算结果与准确值比较。

解：复合梯形公式的余项为()2,()()12b n n ab a R f T f x dx T h f η-''=-=-⎰11()()2()2n n k k b a T f a f b f x n -=-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑,,0,1,2,,k b ax a kh h k n n -=+==本题()12f x x =，()[]()231,21,max 1x f x M f x x ∈''''=== 本题余项为()[]2221,221,()max ()121212n x h h R f T h f f x η∈-''''=-≤=要使()23,1012n h R f T -≤≤，得 0.109545h ≤，取0.1h = 得100.1b a n h ==-2-1=于是有 101111112...0.346886210242 1.12 1.22 1.9I T ⎡⎤⎛⎫≈=+++++= ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎣⎦ 检验： 4310101ln 2 3.1211110102I T T ---=-=⨯<四、证明 若函数()[]1,f x C a b ∈，则其上的一阶差商函数是连续函数，并借助此结果用Newtong 插值余项证明梯形求积公式的余项为()()()()()()31212b ab a b aR f f x dx f a f b f --''=-+=-η⎡⎤⎣⎦⎰证明：不妨设一阶差商函数为[],f x a ，[]0,x a b ∀∈，有[]()()()()()()()()()()[]000000000000000lim ,lim lim lim ,h h h h f x h f a f x h a x h a f x f h f a x h a f x f a f h f x f a f x a x h ax h a x a ξξ→→→→+-⎛⎫+= ⎪+-⎝⎭'+-⎛⎫= ⎪+-⎝⎭'--⎛⎫=+== ⎪+-+--⎝⎭由0x 的任意性，可知一阶差商函数是连续函数。

由插值特点，显然有()()()()()()()111b baaR f f x L x dx f x N x dx =-=-⎰⎰线性插值的Newton 余项公式为()()[]()()1,,f x N x f x a b x a x b -=-- 故有()[]()()1,,ba R f f x ab x a x b dx =--⎰由[][][][][][][][]000,,lim ,,lim lim ,,,,,,h h h f x h a f a b f x h a b x h b f x h a f a b f x a f a b f x a b x b x b→→→⎛⎫+-+= ⎪+-⎝⎭+--===--可知[],,f x a b 是变量x 在[],a b 上的连续函数，而函数()()x a x b --在[],a b 上可积，不变号，根据积分中值定理，存在(),a b ξ∈，使()()()[]()()1,,b baaf x N x dx f a b x a x b dx -=ξ--⎰⎰由差商性质，存在[],a b η∈，使[](),,2f f a b ''ηξ=。

所以 ()()()()()()()()13212bba a f f x N x dx x a xb dx b a f η''-=---''=-η⎰⎰结论得证。

五、导出中矩形公式()()2b aa b f x dx b a f +⎛⎫≈- ⎪⎝⎭⎰的余项。

解：将()f x 在a b x +=处进行泰勒展开[]b a ,∈ξ。

对上式两边在[]b a ,上积分，有中矩形公式的余项()()()221'''2222bM a bb aa ab R f x dx b a f a b a b a b f x dx f x dx ξ+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰()()()()()232320'0;221''22''''''2222324ba ba b aba ab a b f x dx a b f x dx f f f b a a b x dx t ξηηη-++⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫- ⎪⎝⎭-+⎛⎫=-=⨯=⎪⎝⎭⎰⎰⎰()()[]3'',,24M f R b a a b ηη∴=-∈六、设数值求积公式1()d ()nbk k ak f x x A f x =≈∑⎰,代数精度至少为n-1的充分必要条件是它为插值型求积公式. 证:充分性.设原式是插值型求积公式,则式中的求积系数()bk kn aA l x dx =⎰()111()()()()()()n nb n k k knka k k n bb kn k n a a k I A f x l x dx f x l x f x dx L x dx =====⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑⎰∑⎰⎰余项为()()()()!n b n n n af R f I I x dx n ξω=-=⎰由知代数精度至少为n-1 必要性.设原式代数精度至少为n-1,则对次数不超过n-1的多项式()(1)r p x r n ≤-原式成立等号,特别地取Lagrange 插值基函数()kn l x ,有111()(),1,2,,nbkn j kn j a j lx dx A l x k n --===∑⎰因为11,,()0,.kn j i k l x j k -=⎧=⎨≠⎩所以()bk kn aA l x dx =⎰故原式为插值型求积公式.七、令P(x)是n 次实多项式,满足()0,0,, 1.bk aP x x dx k n ==-⎰证明P(x)在开区间(a,b )中有n 个实单根.证明:因为()0ba P x dx =⎰，所以P(x)在[a,b ]上至少有一个零点。

若P(x)有k(≥1)个零点i x ，i=1,2,…,k 在[a,b ]上，则有()12()()()()()()k k P x x x x x x x g x Q x g x =---=()0,()0g x g x ><或，12()()()()k k Q x x x x x x x =---11100(),(1)kkk i k k k i i Q x a x a xa x a a x k n --==++++=≤-∑及()0,0,1,,1bk a P x x dx k n ==-⎰ ，所以()()()()0k kbbbii k i i aaai i P x Q x dx P x a x dx a P x x dx =====∑∑⎰⎰⎰若零点个数1k n ≤-，有2()()()()0bbk k aaP x Q x dx g x Q x dx =≠⎰⎰矛盾，因此k n ≥，即()P x 在[a,b ]至少有n 个零点,但P(x)是n 次实多项式，故k=n 。

八、已知点(,(),())a f a f a '和(,(),())b f b f b '，用该信息计算定积分()ba f x dx ⎰。

解：记3()H x 为()f x 关于节点,a b 的Hermite 插值多项式：30101()()()()()()()()()H x h x f a h x f b g x f a g x f b ''=+++()()()()3011()()()()()()()()()()b b b baaaabbaaf x dx H x dx h x dx f a h x dx f bg x dx f a g x dx f b ≈=+''++⎰⎰⎰⎰⎰⎰20()122bba a x a xb b a h x dx dx b a a b ---⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 21()122bba a xb x a b a h x dx dx b a b a ---⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()()220()12bba ab a x b g x dx x a dx a b --⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰()()221()12bbaab a x a g x dx x b dx b a --⎛⎫=-=-⎪-⎝⎭⎰⎰所以有误差为九、验证Gauss 型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+⎰求积系数及节点分别为A =，1A =, 02x =，12x =。