关于积分对称性定理
1、 定积分：
设)(xf在,aa上连续，则




-00,d2d,aaa

fxxfxxfxxfxx为的奇函数,
为的偶函数.

2、 二重积分：
若函数),(yxf在平面闭区域D上连续，则
（1）如果积分区域D关于x轴对称，),(yxf为y的奇（或偶）函
数，即 ),(),(yxfyxf（或),(),(yxfyxf），则二重积分





1

0,,,dd2,dd,,DDfxyyfxyxyfxyxyfxyy为的奇函数,
为的偶函数.

其中：1D为D满足0y上半平面区域。
（2） 如果积分区域D关于y轴对称，),(yxf为x的奇（或偶）函
数，即,,fxyfxy（或,,fxyfxy），则二重积分




2

0,,,dd2,dd,,DDfxyxfxyxyfxyxyfxyx为的奇函数,
为的偶函数.

其中：2D为D满足0x的右半平面区域。
（3）如果积分区域D关于原点对称，),(yxf为yx,的奇（或偶）
函数，即
),(),(yxfyxf（或),(),(yxfyxf
）则二重积分





2

0,,,,dd2,dd,,,DDfxyxyfxyxyfxyxyfxyxy为的奇函数,
为的偶函数.

其中:1D为D在0y上半平面的部分区域。
（4）如果积分区域D关于直线xy对称,则二重积分
yxxyfyxyxfDDdd,dd,.（二重积分的轮换对称

性）
(5)如果积分区域D关于直线yx对称,则有

1
0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)DDfyxfxyfxydxdyfxydxdyfyxfxy当时
当时

利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）
中应同时具有积分域D对称及被积函数yxf,具有奇偶性两个特
性。
3、三重积分：
(1)若zyxf,,为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关
于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧0z的部分区域，则
有




1

0,,,,,ddd2,,ddd,,,fxyzzfxyzxyzfxyzxyzfxyzz为的奇函数,
为的偶函数.

注：),,(zyxf是z的奇函数：),,(),(zyxfzyxf
),,(zyxf是z的偶函数：),,(),(zyxfzyxf
同样，对于空间闭区域关于yozxoz,坐标面对称也有类似的性
质。
4、 曲线积分（第一类）
（1）若分段光滑平面曲线L关于y轴对称，且yxf,在L上为连
续函数，1L为L位于y轴右侧的弧段，则




1

0,,,d2,d,,LLfxyxfxysfxysfxyx为的奇函数,
为的偶函数.

（2）若分段光滑平面曲线L关于x轴对称，且yxf,在L上为连
续函数，1L为L位于x轴上侧的弧段，则
10,,,d2,d,,LLfxyyfxysfxysfxyy为的奇函数,为的偶函数.
（3）若L关于直线xy对称，则

dsxyfdsyxfLL),(),(
其中（3）式也称为第一类曲线积分的轮换对称性。
5、
第二类曲线积分

（1）设分段光滑的平面曲线L关于x轴对称，且L在x轴的上半部分1L与在
下半部分的2L方向相反，
则




1

0,,,d2,d,,LLPxyyPxyxPxyxPxyy是关于的偶函数,
是关于的奇函数.

（2）设分段光滑的平面曲线L关于y轴对称，且L在y轴的右半部分1L与
在左半部分的2L方向相反
则




1

0,,,d2,d,,LLPxyxPxyxPxyxPxyx是关于的偶函数,
是关于的奇函数.

对于积分,LQxydy也有类似地结论。上述结论可推广到空间曲线的情
形.

6、 第一类曲面积分：
若曲面关于xoy坐标面对称，zyxf,,为上的连续函数，1为


位于xoy上侧0z的部分曲面，则





1

0,,,,,d2,,d,,,fxyzzfxyzSfxyzSfxyzz为的奇函数,
为的偶函数.

曲面关于xozyoz,坐标平面对称也有类似的性质。

7、第二类曲面积分的对称性
设函数),,(,),,(,),,(zyxRzyxQzyxP在分片光滑的曲面上连续，
（1）设分片光滑的曲面关于xoy坐标面对称，且在xoy上半空间的
部分曲面1取上侧，在xoy下半空间的部分曲面2取定下侧，则





1

0,,,,,dd2,,dd,,,RxyzzRxyzxyRxyzxyRxyzz关于是偶函数,
关于是奇函数.

（2）设分片光滑的曲面关于yoz坐标面对称，且在yoz前半空间的部分
曲面1取前侧，在yoz后半空间的部分曲面2取后侧，则




1

0,,,,,dd2,,dd,,,PxyzxPxyzxyPxyzyzPxyzx关于是偶函数,
关于是奇函数.

（3）设分片光滑的曲面关于xoz坐标面对称，且在xoz右半空间的部分
曲面1取右侧，在xoz左半空间的部分曲面2取左侧，则
6




1

0,,,,,dd2,,dd,,,QxyzyQxyzxyQxyzyzQxyzy关于是偶函数,
关于是奇函数.

（4）若积分曲面关于zyx,,具有轮换对称性，则




,,dd,,dd,,dd1,,dd,,dd,,dd3PxyzyzPyzxzxPzxyxyPxyzyzPyzxzxPzxyxy




