平面解析几何
例题
1.已知圆()()22
:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点 P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为
2.如何理解：“直线1x y a b
+=通过点(cos sin )M αα，”？ 3. 如果圆C:22()(2)4x m y m -+-=总存在两点到原点距离为1，求实数m 的取值范围.
4.在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
5.过定点M （4，2）任作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于A,B 两点， 线段AB 中点为P ，求OP 的最小值.
6. 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值
7.直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A 、B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是
直角三角形(O 是坐标原点)，则点(,)P a b 与点)1,0(之间距离的最大值为（ ）
A ． 12+
B ． 2
C ． 2
D ． 12-
8.如图，线段=8AB ，点C 在线段AB 上，且=2AC ，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设=CP x ， CPD △的面积为()f x .则()f x 的定
义域为 ； '()f x 的零点是 .
9.已知点()0,2A ,()2,0B . 若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC △的面积为2的点C 的个数为
10. 直线=+1y kx 与圆0422=-+++my kx y x 交于,M N 两点，且,M N 关于直线+=0x y 对称.求+m k 的值.
C B D
11.双曲线22
1169
x y -=，右支上一点M ，12F F M ∆的内切圆与x 轴切于P 点， 则12PF PF -的值是
12. 直线0ax by b a ++-=与圆2220x y x +--=的位置关系是
13.设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩
，，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是
A ．43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，
B ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，
C ．23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，
D ．53⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭，
14. 若实数,x y 满足221x y +≤，则2236x y x y +-++-的最小值是 .
15 点P 在左右焦点分别为12,F F 的双曲线2211620
x y -=上，若19,PF =则2PF = 16．已知椭圆22
1169
x y +=的左右焦点分别为12,F F ,点P 在椭圆上，若P ，12,F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为
17.已知椭圆C:22
143
x y +=.确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，C 上有两个不同的点关于该直线对称.
18. 抛物线22 (0)y px p =>上存在两点,A B 关于直线:1l y x =-+对称，求p 的取值范围.
19.已知菱形ABCD 的顶点C A 、在椭圆4322=+y x 上，对角线BD 所在直线的斜率为1.
（Ⅰ）当直线BD 过点)1,0(时，求直线AC 的方程;
（Ⅱ）当︒=∠60ABC 时，求菱形ABCD 面积的最大值.
20.设,A B 分别为椭圆13
42
2=+y x 的左、右顶点，设P 为直线4x =上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN
为直径的圆内.
21. 已知：,A B 在22y px =上，直线,OA OB 倾斜角为,αβ，且4παβ+=
.
证明直线AB 过定点.
22. 已知椭圆22:24C x y +=.设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，
且OA OB ⊥，试判断AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论. 23.已知W: 22
122
x y -=（2x ≥），若 A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA ·OB 的最小值.
三、如何教会学生解决数学问题的方法
如何找到解决数学问题的方法呢.过去我强调比较多的是解决数学问题的一般方法，但是这样的阐述就解决数学问题而言还不是全面的.我曾经的一个观点是解决数学问题的方法越少越好，就是针对解决数学问题的一般方法而言的.但是解决数学问题只靠一般方法就能解决吗？换句话说，解决数学问题的一般方法是解决哪个方面的问题？为什么叫一般方法或通性通法呢？我们常见的数学问题（这里专指学生做的数学题目）都包含两个要素：一个是这个问题中涉及到的研究对象，如函数的解析式、曲线方程、空间几何体、数列的通项等，这个对象不一定是一个，也许是两个或更多；还有一个要素是针对研究对象所提出来的需要解决的具体问题.因此，要解决一个数学问题，首先就要对数学问题的对象（也可以称之为数学问题的主体）进行研究.要研究单个对象的属性、性质以及两个及以上对象之间的关系.如：对于一个函数要研究其所有的性质；对于两个函数不仅要研究它们各自的性质，还要研究它们的代数关系；同样，对于两个几何对象也要研究它们之间的位置关系，等等.这种方法是研究问题主体的性质、属性及关系的，也是解决任何一个数学问题都需要面对的并加以解决的.从这个意义上来说，这种研究数学问题的方法就是一般方法、通性通法.
解决针对这个研究对象的具体问题的方法是怎么得到的呢？
在教学实践中，教师经常会结合例题来讲解决问题的方法，通常是对数学问题分类，针对不同类型的问题对应着不同的方法进行教学.为了让学生能够熟练地掌握老师教给的方法，常常需要通过一定量的练习、考试等手段达到教学目的.在这种理念下进行的教学，教
师不太关注解决数学问题的方法是如何得到的，而是把教学的重点放在了学生会不会熟练运用方法去解决问题. 课堂上如果涉及这个方法是从哪里来的时候，教师经常会说和这个问题类似的我们什么时候做过、上周我们讲过，所以解决这个问题的方法是什么等等.这种说辞掩盖了解决数学问题方法的本质，就是说方法是老师教的，只要会用就够了.如此，在学生的数学思维中，关于方法的思维活动就变得缺乏逻辑，数学教学就很容易演变成对解题方法熟练运用的教学，解决数学问题的思维活动越来越偏离数学学科的本质.
我认为，解决数学具体问题的方法是数学问题的研究对象的性质及关系转化而来的，是对研究对象的性质及关系研究之后并深刻理解的基础上得到的. 这种方法不是前面我们所说的一般方法，而是在运用一般方法之后的解决具体数学问题的具体方法.学生要体会到：这种具体方法不是老师告诉的，这样的方法没有套路可循，这样的方法是学生自己根据对问题对象的性质及关系的研究基础上找到的.如果不分析研究对象的性质及关系，就不会有解决数学具体问题的具体方法.
这样，我们就看到解决数学问题的方法实际上是两个方法，即一般方法和具体方法.一般方法不多，但是，由于对数学具体问题分理解不同，对研究对象的性质和关系运用的角度不同，就出现了各种各样的具体方法.但是，有经验的数学教师会从多种多样的具体方法中提炼概括，让学生感受到这些具体方法都是来源于问题对象的性质或关系的.
如果学生面对数学问题时，不再是急急忙忙地进行运算或套用现成的方法，而是能够比较从容的对数学问题的研究对象进行理解和深入研究，并能够在研究的基础上，找到解决具体问题的具体方法，那么他的解决数学问题的活动就是有逻辑的数学思维活动.这种能力一旦获得，他就不需要依赖老师是否讲过类似的题目，他也不再靠识别问题的类型和所记忆的方法来解决问题.因为他把面对的每一个数学题目都是当成新的问题来看待的，对于如何找到解决这个问题的方法他充满信心.
总之，教师要能够站在思维的高度来认识如何教会学生解决数学问题，要明确思维能力的培养才是提高数学成绩的关键，才是数学教学的价值所在.教师要研究我们的教学，要有信心找到培养学生解决数学问题能力的规律，把握数学教学的本质.。