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平面解析几何高考复习知识点

平面解析几何 高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率 1、直线的倾斜角:(1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条及x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线l 及x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0;(2)倾斜角的范围[)π,0。

2、直线的斜率(1)定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k =tan α(α≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率; (2)斜率公式:经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=;(3)直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量及直线的斜率有何关系?(4)应用:证明三点共线: AB BC k k =。

例题:例1.已知直线的倾斜角的变化范围为,求该直线斜率的变化范围;思路点拨:已知角的范围,通过正切函数的图像,可以求得斜率的范围,反之,已知斜率的范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围 解析: ∵, ∴.总结升华:在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围,或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时,可利用在和上是增函数分别求解.当时,;当时,;当时,;当不存在时,.反之,亦成立.类型二:斜率定义例2.已知△ABC为正三角形,顶点A在x轴上,A在边BC的右侧,∠BAC的平分线在x轴上,求边AB及AC所在直线的斜率.思路点拨:本题关键点是求出边AB及AC所在直线的倾斜角,利用斜率的定义求出斜率.解析:如右图,由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°,直线AC的倾斜角为30°,∴k AB=tan150°= k AC=tan30°=总结升华:在做题的过程中,要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角,只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三:斜率公式的应用例3.求经过点,直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角.思路点拨: 已知两点坐标求斜率,直接利用斜率公式即可. 解析: 且,经过两点的直线的斜率,即.即当时,为锐角,当时,为钝角.例4、过两点,的直线的倾斜角为,求的值. 【答案】由题意得:直线的斜率,故由斜率公式,解得或. 经检验不适合,舍去. 故.例5.已知三点A(a ,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a 的值. 思路点拨:如果过点AB ,BC 的斜率相等,那么A ,B ,C 三点共线. 解析:∵A 、B 、C 三点在一条直线上, ∴k AB =k AC .即二、直线方程的几种形式1、点斜式:已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

2、斜截式:已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。

3、两点式:已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为121121x x x x y y y y --=--,它不包括垂直于坐标轴的直线。

4、截距式:已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+byax ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

5、一般式:任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。

提醒:(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢?);(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点。

如过点(1,4)A ,且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条(答:3)注:设直线方程的一些常用技巧:(1)知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+;(2)知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线);(3)知直线过点00(,)x y ,当斜率k 存在时,常设其方程为00()y k x x y =-+,当斜率k 不存在时,则其方程为0x x =;(4)及直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=; (5)及直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=. 提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。

三、两直线之间的位置关系 1、距离公式(1)平面上的两点间的距离。

特别地,原点O (0,0)及任意一点的P(x,y)的距离(2)点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022Ax By Cd A B++=+;(3)两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =。

2、直线1111:0l A x B y C ++=及直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系: (1)平行⇔12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠(在y 轴上截距); (2)相交⇔12210A B A B -≠;(3)重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=; (4)垂直⇔12120A A B B += 提醒: (1)111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222A B CA B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件!为什么?(2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线;3、两直线夹角公式(1)1l 到2l 的角是指直线1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线2l 重合所转的角θ,θ()π,0∈且tan θ=21121k k k k +-(121k k ≠-);(2)1l 及2l 的夹角是指不大于直角的角,(0,]2πθθ∈且tan θ=︱21121k k k k +-︱(121k k ≠-)。

提醒:解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。

如已知点M 是直线240x y --=及x 轴的交点,把直线l 绕点M 逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是______(答:360x y +-=) 例题:例1、两条直线m y x m l 352)3(1-=++:,16)5(42=++y m x l :,求分别满足下列条件的m 的值.(1) 1l 及2l 相交; (2) 1l 及2l 平行; (3) 1l 及2l 重合;(4) 1l 及2l 垂直; (5) 1l 及2l 夹角为︒45. 解:由mm +=+5243得0782=++m m ,解得11-=m ,72-=m .由163543mm -=+得1-=m . (1)当1-≠m 且7-≠m 时,2121b b a a ≠,1l 及2l 相交; (2)当7-=m 时,212121c c b b a a ≠=.21//l l ; (3)当1-=m 时,212121c c b b a a ==,1l 及2l 重合; (4)当02121=+b b a a ,即0)5(24)3(=+⋅+⋅+m m ,311-=m 时,21l l ⊥; (5) 231+-=m k ,mk +-=542.由条件有145tan 11212=︒=+-k k k k .将1k ,2k 代入上式并化简得029142=++m m ,527±-=m ;01522=-+m m ,35或-=m .∴当527±-=m 或-5或3时1l 及2l 夹角为︒45.例2当a为何值时,直线1)1()2(1=--++y a x a l :及直线02)32()1(2=+++-y a x a l :互相垂直?解:由题意,直线21l l ⊥.(1)若01=-a ,即1=a ,此时直线0131=-x l :,0252=+y l :显然垂直;(2)若032=+a ,即23-=a 时,直线0251=-+y x l :及直线0452=-x l :不垂直;(3)若01≠-a ,且032≠+a ,则直线1l 、2l 斜率1k 、2k 存在,a a k -+-=121,3212+--=a a k . 当21l l ⊥时,121-=⋅k k ,即1)321()12(-=+--⋅-+-a a aa ,∴1-=a . 综上可知,当1=a 或1-=a 时,直线21l l ⊥.例3已知直线l 经过点)1,3(P ,且被两平行直线011=++y x l :和062=++y x l :截得的线段之长为5,求直线l 的方程.解法一:若直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为3=x ,此时及1l 、2l 的交点分别为)4,3('-A 和)9,3('-B ,截得的线段AB 的长594=+-=AB ,符合题意,若直线l 的斜率存在,则设直线l 的方程为1)3(+-=x k y . 解方程组⎩⎨⎧=+++-=,01,1)3(y x x k y 得⎪⎭⎫⎝⎛+--+-114,123k k k k A ,解方程组⎩⎨⎧=+++-=,06,1)3(y x x k y 得⎪⎭⎫⎝⎛+--+-119,173k k k k B .由5=AB ,得2225119114173123=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k k k k k . 解之,得0=k ,即欲求的直线方程为1=y . 综上可知,所求l 的方程为3=x 或1=y . 解法二:由题意,直线1l 、2l 之间的距离为125261=-=d ,且直线l被平等直线1l 、2l 所截得的线段AB 的长为5(如上图),设直线l 及直线1l 的夹角为θ,则225225sin ==θ,故∴︒=45θ.由直线011=++y x l :的倾斜角为135°,知直线l 的倾斜角为0°或90°,又由直线l 过点)1,3(P ,故直线l 的方程为3=x 或1=y .解法三:设直线l 及1l 、2l 分别相交),(11y x A 、),(22y x B ,则:0111=++y x ,0622=++y x .两式相减,得5)()(2121=-+-y y x x . ① 又25)()(221221=-+-y y x x ②联立①、②,可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-52121y y x x由上可知,直线l 的倾斜角分别为0°或90°. 故所求直线方程为3=x 或1=y .例4 已知直线082=+-y x l :和两点)0,2(A 、)4,2(--B . (1)在l 上求一点P ,使PB PA +最小; (2)在l 上求一点P ,使PA PB -最大. 解:(1)如图,设A 关于l 的对称点为),('n m A则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅-+-=-082222,22n m m n∴2-=m ,8=n . ∴)8,2('-A∴B A '的的是2-=x ,B A '及l 的交点是)3,2(-, 故所求的点为)3,2(-P . (2)如下图,AB 是方程)2()2(2)4(0-----=x y ,即2-=x y .代入l 的方程,得直线AB 及l 的交点)10,12(, 故所求的点P 为)10,12(.四、对称问题——代入法(中心对称和轴对称)1、 中心对称(1)点关于点对称点P (00,y x )关于(b a ,)对称的点为(002,2y b x a --);(2)线关于点对称:(转化为点点对称) 在已知直线上任意去两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再有两点式求出直线方程,或者求出一个点,再利用两直线平行(注:线关于点对称的另一条直线和已知直线平行),由点斜式求出直线方程。

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