第五章直线与圆直线与圆是几何中最基础和最重要的两种图形，是代数方法在几何研究中的应用的开始. 对于这部分内容，学生应该深刻领会并熟练应用数形结合的思想方法，既要注重代数运算的简洁，也要充分利用几何图形的性质，还要认真考虑代数式的几何意义，在对参数的讨论过程中不要遗漏某些特殊值所表示的特殊情况.近年来，这一部分内容在高考试题中通常属于基础题，难度中等，但解答问题使用的方法会直接影响到运算量的多少以及问题解答的正确率.第一节直线与圆的位置关系1. 直线的x-截距与y-截距之间的关系例1 （09华南师大附中3月）已知直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等，且到点（1，2）的距离为2，求直线l的方程.【动感体验】要全面考虑可能成立的各种情况. 已知直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等的条件应考虑截距可能为零或不为零两种情况.如图5.1.1所示，点P在以A（1，2）为圆心、半径为2的圆上，直线（记为l）经过点P且与圆A相切. 则该l到点（1，2）的距离为恒为2.打开文件“09华南师大附中3月.zjz”，拖动点P，观察可能出现直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等的情况.图5.1.1【思路点拨】对于满足条件的直线其截距为零和不为零两种情况分别讨论.【动态解析】图5.1.2-5.1.7所示六种情况下，经过点P的直线在x轴、y轴上截距的绝对值均相等.图5.1.2 图5.1.3图5.1.4 图5.1.5图5.1.6 图5.1.7可设满足条件的直线的方程为b kx y +=. 当0=b 时，由点到直线的距离公式得：21|2|2=+-kk ，解得62+-=k 或62--=k .当0≠b 时，则直线l 的斜率k 为1或者-1，由点到直线的距离公式得：21|2|2=+-+kb k ，当1=k 时，解得1-=b 或3=b ；当1-=k 时，解得5=b 或1=b .因此所求直线的方程为：x y )62(+-=，或x y )62(--=，或1-=x y ，或3+=x y ，或5+-=x y ，或1+-=x y .【简要评注】从本题的题设条件，很容易选择利用直线的截距式方程表示直线进行求解，但要注意避免遗漏直线经过原点的情况. 在这里我们首先考虑到直线到点A 的距离为2，再寻找满足要求的直线，就容易分类了.有时候利用直线的截距式在绘制直线时非常方便，但答案通常写成斜截式.2. 直线与圆的位置关系例2 （06湖南理10）若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）。

A ． ]412[ππ， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]20[π， 方法一：【动感体验】方程0104422=---+y x y x 可化为18)2()2(22=-+-y x ，该圆的圆心为（2，2）、半径为23，圆心在直线x y =上. 0:=+by ax l 是一条过原点的直线，系数b a ,决定其倾斜角. 令bak -=，则l 的方程为：kx y =. 考虑k 变化时与直线kx y =平行并与之距离为22的两条直线与圆交点的个数. 打开文件“06湖南理10.zjz ”，实线表示直线kx y =，虚线是两条到直线kx y =的距离等于22，通过拖动点P 或者动画按钮可以改变k 的值，如图5.1.8-5.1.12所示为其中的几种情况.图5.1.8 图5.1.9图5.1.10 图5.1.11图5.1.12【思路点拨】改变k 的值考虑当圆上恰好有三个点到直线l 的距离为22时，两条平行线与圆的位置关系. 这时两平行线应该其一与圆相切另一与圆相交，而圆心到直线l 的距离恰好为2，由此不难确定直线l 的倾斜角的取值范围. 【动态解析】注意到22=OC ，当圆心到直线l 的距离CD 恰好为2时，如图5.1.8、图5.1.11所示，6π=∠COD . 由此不难确定若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22时,直线l 的倾斜角的取值范围是]12512[ππ，. 所以选择B .方法二： 【动感体验】方程0104422=---+y x y x 可化为18)2()2(22=-+-y x ，可知该圆的圆心为（2，2）、半径为23. 进入文件“06湖南理10.zjz ”第二页，点C 是方程0104422=---+y x y x 所在圆的圆心. 点P 是圆C 上的动点，OP CD ⊥与D ，因此可以用直线OP 表示方程0=+by ax 对应的直线l ，其中. 拖动点P ，观察直线OP 与圆C 的位置关系，判断当圆C 上至少有三个不同的点到直线OP 的距离为22时直线OP 所应满足的条件，如图5.1.13-5.1.16所示，为其中的几种情形.图5.1.13 图5.1.14图5.1.15 图5.1.16【思路点拨】将圆上的点到直线的距离转化成为圆心到直线的距离. 【动态解析】 令bak -=，则l 的方程为：kx y =. 当直线OP 在圆心C 左上方时，若圆上正好有3个点到l 的距离为22，如图5.1.13所示，则此时22223||=-=CD . 又因为22||=OC ，4π=∠xOC ，所以在Rt △CDO 中，6π=∠COD ，所以125π=∠+∠=∠COD xOC xOD . 当直线OP 在圆心C 的右下方时，若圆上正好有3个点到l 的距离为22，如图5.1.14所示，则此时22223||=-=CD . 又因为22||=OC ，4π=∠xOC ，所以在Rt △CDO 中，6π=∠COD ，所以12π=∠-∠=∠COD xOC xOD .因此当12512ππ<∠<xOD 时，如图5.1.15、图5.1.16所示，圆上有四个不同的点到l 的距离为22.所以选择B . 【简要评注】本题解答过程中要抓住两个关键：一、把圆上的点到直线的距离转化成为圆心到直线的距离；二、直线的特征：经过原点.3. 直线与动圆的位置关系例3 （09广东理B19）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是2:C y x =上一点，且点P与点A 和点B 均不重合．（I ）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程； （II ）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值．（一）求点M 的轨迹方程.这里Q 是定点，P 是曲线C 上的动点，M 是线段PQ 的中点，M 随P 点而运动. 既然曲线C 是抛物线，可以猜测M 的轨迹也是一条抛物线. 至于它轨迹方程，就是求点M 的坐标之间的关系. 注意到P 点的坐标满足曲线C 的方程，而点M 的坐标又可以通过P 和Q 点坐标来表示，因此这个轨迹方程不难求出.事实上：由⎩⎨⎧=+-=,02,2y x x y 解得：1-=A x ，2=B x ；1=A y ，4=B y ，因为Q 是线段AB 的中点所以有)25,21(Q .又),(y x M 为PQ 的中点，所以有221s x +=，225t y +=. 反解得214-=x s ，254-=y t . 因为点P 在曲线C 上，2s t =（21<<-s ）. 将上式代入得2)214(254-=-x y ，化简得45)14(812+-=x y . 用表示点M 的坐标，则有214-=x s ，254-=y t ，即2)214(254-=-x y ，化简得45)14(812+-=x y . 由21<<-s ，得4541<<-x .所以点M 的轨迹方程为：45)14(812+-=x y （4541<<-x ），它表示一个抛物线弧段，如图5.1.17所示.图5.1.17（二）求a 的最小值.【动感体验】很明显22251:24025G x ax y y a -+-++=是一个圆的方程. 可化为222)57()2()(=---y a x ，它表示一个半径为常数57而圆心为（a ，2）的圆. 随着a 的变化，这是一个可以左右平行移动的圆. .进入文件“09广东理B19.zjz ”第二页，如图 5.1.18所示，圆T 表示方程0255142222=++---a y y ax x 对应的曲线. 点T 可以被拖动，水平移动圆T 的位置. 观察区域D 与圆T 有公共点的情况下，点T 的横坐标a 应满足的条件.图5.1.18【思路点拨】求圆与D 有公共点时的a 最小值，就是求圆与线段AB 相切且位于线段左侧时的a 的值. 【动态解析】如图 5.1.19所示，当圆T 经过点A 时，将A （-1，1）代入222)57()2()(=---y a x 解得：5621--=a 或5621+-=a （舍去）.图5.1.19当圆T 与直线:20l x y-+=相切时，由点到直线的距离公式得：572|22|=+-a ，解得：527-=a 或527=a （舍去）. 此时切点坐标为（1027-，10272-），因为11027->-，所以切点在线段AB 内. 由此可知a 的最小值为527-=a .【简要评注】本题中的动圆圆心在一条水平直线上移动，半径固定，因而比较容易了解圆与区域、圆与直线的位置关系. 而最值是取在线段的端点的状态下还是圆与直线相切的条件下，这时本题重点要考察的内容. 直观的演示可以帮助我们探索与发现问题，但只有从数学的角度进行推理和计算才能得到结论.4. 求与圆有关的动态向量的数量积例4 （08山东临沂）直线0=++C By Ax 与圆422=+y x 相交于N M 、两点，若222B AC +=，则⋅（O 为坐标原点）等于（ ）. A ．2- B ．1- C ．0D ．1 【动感体验】圆422=+y x 是圆心为坐标原点半径为2的圆，设和之间的夹角为α，根据向量的数量积的定义ααcos 4cos ||||=⋅⋅=⋅，因此关键在于确定向量与之间的夹角α的大小.由222BA C +=得到：1||22=+BA C ，这说明原点O 到直线0=++C By Ax 的距离等于1. 因此可以将直线0=++C By Ax 看作是经过单位圆上一点并且与单位圆相切的动直线. 打开文件“08山东临沂.zjz ”，如图5.1.20所示，拖动点P ，观察直线0=++C By Ax 与圆422=+y x 两个交点N M 、的变化规律.图5.1.20【思路点拨】分析条件222B AC +=的几何意义，研究与夹角α有关的几何关系. 【动态解析】因为直线0=++C By Ax 过点P 且与单位圆相切，所以OP 垂直且平分MN . 在∆Rt OPM 中，1=OP ，2=OM ，所以3π=∠POM ，32π=∠MON .图5.1.21所以232cos4cos 4cos ||||-=⋅==⋅⋅=⋅πααOM OM . 因此选择A. 【简要评注】解决本题的关键在于在熟练掌握向量的数量积概念的前提下挖掘条件222B A C +=，从而确定直线0=++C By Ax 的特征以求出向量之间的夹角.5. 与直线截距有关的不等关系例5 （08全国I 理10）若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ）. A ．221a b +≤B ．221a b+≥C ．22111a b +≤ D ．22111a b +≥ 【动感体验】由(cos sin )M αα，想到单位圆，M 是这个单位圆上的动点. 条件直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，实际上是说直线和单位圆有公共点，其中隐含圆心到直线的距离与单位圆的半径1的关系. 打开文件“08全国I 理10.zjz ”，如图5.1.22所示，经过点M 和点N 的直线表示方程1x ya b+=对应的直线，点P 和点Q 分别是直线与x 轴、y 轴的交点. 拖动点N 可以任意改变直线性质特征，研究四个选项所表示的几何意义以及成立的可能性.图5.1.22【思路点拨】在直角三角形POQ 中考虑斜边上的高与单位圆半径之间的关系. 【动态解析】图5.1.23和图5.1.24说明221a b+≤和221a b +≥两种情况都可能成立.图5.1.23 图5.1.24当直线1x ya b+=与圆O 相切时，如图5.1.25所示，直角三角形POQ 斜边上的高线等于圆O 的半径1.图5.1.25 图5.1.26而其他情况下，如图5.1.25所示，直角三角形POQ 斜边上的高线小于圆O 的半径1.通过面积公式可以求得直角三角形POQ 斜边上的高等于22ba b a +⋅，由122≤+⋅b a b a 化简得：11122≥+b a . 因此答案选择D.进入文件“08全国I 理10.zjz ”的第二页，如图5.1.27所示，则给出直线与单位圆没有公共点的情况，这时122>+⋅=b a b a OM ，由此11122<+b a ，即选项C表明的关系.图5.1.27【简要评注】本题中b a 、为截距，恰好是直线与两坐标轴的交点及原点所构成的直角三角形的直角边长，因此设法在POQ Rt ∆中找出22b a +及2211b a +的几何意义是解决问题的关键.本节小结研究直线与圆的位置关系，通常转换为圆心与直线的距离问题. 此外，充分利用代数式的所表示的几何性质，能够提高我们的解题效率、减少出错率和计算量.拓展练习1. （06湖南理10改编）若圆222)5()3(r y x =++-上有且仅有两点到直线0234=--y x 的距离为1，则半径r 的取值范围是 .2. （08辽宁理3）圆221x y +=与直线2y kx =+没有公共点的充要条件是( ).A.(k ∈B.(,(2,)k ∈-∞+∞C.(k ∈D.(,(3,)k ∈-∞+∞3. （08安徽文10）若过点(40)A ，的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）.A ．(B ．[C ．⎛ ⎝⎭D ．⎡⎢⎣⎦ 4. （08宁夏、海南文20）已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=．（Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；（Ⅱ）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？第二节 直线系与圆系1. 动直线与动圆的位置关系例 1 （06江西理16）已知圆M ：1)sin ()cos (22=-++θθy x ，直线kx y l =：，下面四个命题：A ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；B ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；C ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切；D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切. 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号） 【动感体验】这里给出的是圆M 的标准方程，其半径为1，圆心为)sin ,cos (θθ-. 可以想象出这些圆的半径都是1，而圆心在单位圆上，所以这些圆都过原点；而直线kx y l =：则是过原点的直线但不包括y 轴. 这就不难考虑圆和直线可能有怎样的位置关系了.打开文件“06江西理16.zjz ”，如图5.2.1所示，拖动点A 可以改变的圆M 的圆心A 的位置. 点P 是圆O 上的动点，可以用经过点O 和点P 的直线表示直线l ：kxy=. 拖动点A或者点P，观察和研究圆M和直线l之间的位置关系.图5.2.1【思路点拨】将圆M与直线l之间的位置关系转化为圆M的半径OA与点M到直线l的距离之间的大小关系.【动态解析】通过图5.2.1可以观察到，圆M与直线l均经过坐标原点O，因此选项B正确，但选项A错误.OP⊥，就有直线l和圆M相切，当点P在任意位置时，只要拖动点A使得OA即对任意实数k，都存在实数θ，使得直线l和圆M相切，如图5.2.2所示. 因此选项D正确.图5.2.2OP⊥，就有直线l和圆M相切.当点A在任意位置时，只要拖动点P使得OA但是当点A在x轴上时，如图5.2.3和图5.2.4，则直线l的斜率k不存在，因此选项C错误.图5.2.3 图5.2.4正确答案为：D B 、. 【简要评注】本题是不定项选择题，需要对每个命题进行判断. 通过动感体验可以发现动圆与动直线经过的共同点（原点），动中求静是这类问题的一种常见解答思路.2. 动直线及其包络问题例2 （09江西理16、文16）设直线系M ：1sin )2(cos =-+θθy x （πθ20≤≤），对于下列四个命题：A ．M 中的所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数n （3≥n ），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）. 【动感体验】首先是认识直线系M ：1sin )2(cos =-+θθy x （πθ20≤≤）具有怎样的特征. 设23,,2,0πππθ=可以分别得到直线1=x ，3=y ，1-=x 和1=y . 这四条直线与点(0,2)的距离都等于1，可以想象直线系M 是否具有这样的特征. 事实上由1sin cos |1sin )22(cos 0|22=+-⋅-+⋅θθθθ知道，直线系M 所表示的是到点)2,0(的距离为1的直线. 或者说直线系是以点)2,0(为圆心、半径为1的圆上的切线.也可以把)sin ,(cos θθ看成直线的单位法向量，于是由向量)2,(-y x 与θ的数量积等于1知直线系M是到点)2,0(的距离为1的直线. 或者说)(cosθ,sin直线系是以点)2,0(为圆心、半径为1的圆上的切线.打开文件“09江西理16.zjz”，如图5.2.5所示，拖动点P或者单击动画按钮，观察直线系M的特征.图5.2.5【思路点拨】通过直线M的特征及其所围成的区域，对四个命题进行判断.【动态解析】M中的直线不经过任何一个定点，因此选项A错误.圆A内的所有点均不在M中的任何一条直线上，因此选项B正确.当θ均匀变化，即点P在圆周上匀速运动时，直线之间的交点就是正n边形的顶点，如图5.2.6-5.2.11所示，因此选项C正确.图5.2.6 图5.2.7 图5.2.8图5.2.9 图5.2.10 图5.2.11 用鼠标双击动画按钮的绿色部分（最右侧部分）可以打开动画按钮的属性对话框，如图5.2.12所示，在动画运动的频率一栏输入大于3的整数后单击“确定”按钮，再次单击动画按钮，即可呈现由M中的直线所组成的对应正多边形.图5.2.12M中的直线所能围成的区域是圆A内部，而其内部可以有无数多个面积不同的正三角形，因此选项D错误.所以答案为：B、C.【简要评注】抓住直线系的特征才能更好地研究其特点. 除了通常的过定点的直线系以及平行直线系外，本题中的直线系也是一种典型类型.3. 动圆及其性质特征例3 （07江西理16）设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号） 【动感体验】打开文件“07江西理16.zjz ”，单击动画按钮，结果如图5.2.13所示，表示一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ，观察这组圆的特点，对四个命题进行判断.图5.2.13【思路点拨】通过圆心)3,1(k k C -与半径22k 研究系列圆的性质特征.【动态解析】可以从最容易判断的选项Ｄ入手，只需看原点的坐标(0，0)是否适合圆的方程就行了. 事实上通过42229)1(k k k ≠++-，因此所有的圆均不．经过原点，所以选项Ｄ为真命题.令1=k 和2=k 分别得到：2)3(:221=-+y x C和32)6()1(:222=-+-y x C .圆心距为10，半径的差等于23，因为2310<,所以两圆内含. 由此看来不可能存在一条直线与所有的圆均相切，所以选项Ａ为假命题.由于这些圆的圆心为)3,1(k k C k -，所以这些圆的圆心在直线33+=x y 上. 这条直线就与所有的圆均相交，所以选项Ｂ为真命题.由于这些圆的半径为22k 随着k 的增大而无限增大，因此不可能存在一条定直线与所有的圆均不．相交. 所以选项Ｃ是假命题. 因此答案为：B 、D. 【简要评注】在研究直线系和圆系的有关问题时，要抓住他们的共性及其相互关系，才能准确地把握运动中的图形的性质特征. 直线与圆的位置关系的判断还是要充分利用圆心与直线的距离.本节小结直线系是一簇有共同特征的直线的总称. 虽然在课本中没有详细介绍，但在练习中却经常出现. 一般地方程中含有函数时就表现为直线系. 圆系的问题也类似，高考中有关直线系和圆系的问题时常出现，解答过程中方法的选择非常重要.直线系与圆系的问题都可以分别理解为直线运动与圆运动的问题，在运动的过程探索规律是这一类型题目的典型特征. 抓住共性，例如过直线或圆定点、圆心或者圆的半径固定等等，才能抓住问题的本质和解决问题的关键.拓展练习1. （07江西理16改编）在例题3中，若将题设中的*N k ∈改为R k ∈，则上述四个命题中哪几个是真命题？2. （09广东文A-19）已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率两个焦点分别为F 1和2F ，椭圆G 上一点到F 1和2F 的距离之和为12. 圆k C ：2224210()x y ky y k R ++--=∈的圆心为点k A .（I ）求椭圆G 的方程；（II ）求∆12k A F F 面积；（III ）问是否存在圆k C 包围椭圆G ？请说明理由.第三节 求最值问题1. 求边长成比例的三角形面积最值例1 （08江苏13）若2=AB ，BC AC 2=，ABC S ∆的最大值 ． 【动感体验】因为2=AB ，BC AC 2=，可以认为三角形ABC 的A 、B 两点是确定的而C 点尚未确定. 可以考虑在满足条件BC AC 2=下的点C 的轨迹图形，然后通过数形结合的方法求三角形面积的最大值.打开文件“08江苏13.zjz ”，如图5.3.1所示，拖动点C ，观察线段AC 与BC 之间的关系，并研究点C 对三角形ABC 的形状和面积的影响.图5.3.1【思路点拨】以AB 的中点为坐标原点，以有向线段AB 的方向为x 轴正方向建立直角坐标系，则点A 、B 的坐标可表示为)0,1(-A 、)0,1(B . 设点C 的坐标为),(y x C ，则有：2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++，化简得：8)3(22=+-y x ，它表示一个坐标圆心在)0,3(、半径为22的圆. 显然当点C 与AB 的距离最大时三角形ABC 面积取最大值.【动态解析】点C 的轨迹表示一个坐标圆心在)0,3(、半径为22的圆. 进入文件“08江苏13.zjz ”的第二页，如图5.3.2所示.图5.3.2容易知道，当点C 在圆心正上方或正下方时，三角形ABC 的高最大（等于圆的半径），面积也最大. 因此三角形ABC 的最大面积等于2222221=⋅⋅. 【简要评注】建立坐标系求动点轨迹是代数方法在几何中的应用，引进坐标系即可简化计算，也可使问题变得直观，容易理解. 在本题中，利用点C 的轨迹所在的圆直观地表示代数式BC AC 2=是解决问题的突破口.2. 求两动点之间距离的最值例2 （05广东20）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图5.3.3所示）．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k ，试写 出折痕所在直线的方程； 图5.3.3（Ⅱ）求折痕的长的最大值． （一） 求折痕所在直线的方程.（1）当0=k 时，如图5.3.4所示，此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程21=y .图5.3.4 图5.3.5（2）当0≠k 时，如图 5.3.5所示，设A 点落在线段DC 上的点)1,(0x A '，)20(0≤≤x ，则直线A O '的斜率001x A k ='，所以折痕所在直线垂直平分A O '，∴1-=⋅'k k A O ，即：11-=⋅k x ，所以：k x -=0. 又因为折痕所在的直线与A O '的交点坐标（线段A O '的中点）为)21,2(k M -，所以折痕所在的直线方程)2(21k x k y +=-，即2122k y kx =++. 综合（1）、（2）得折痕所在的直线方程为：2122k y kx =++)02(≤≤-k . （二） 求折痕的长的最大值. 【动感体验】打开文件“05广东20.zjz ”，点'A 是点A 沿矩形折叠后的对应点. 拖动点'A 观察折痕的变化规律. 【动态解析】折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21(,)21,0(22kk F k E +-+，如图5.3.6所示.图5.3.6由（Ⅰ）知，0x k -=，因为200≤≤x ，所以02≤≤-k ，设折痕长度为d ，所在直线的倾斜角为θ.（1）当0=k 时，如图5.3.7所示，此时点A 与点D 重合, 折痕的长为2；图5.3.7（2）当02<≤-k 时，设k k a 212+-=，212+=k b ，20=≤<AB a 时，如图5.3.8所示，l 与线段AB 相交，此时322+-≤≤-k .图5.3.8 图5.3.92=>AB a 时，如图5.3.9所示，l 与线段BC 相交，此时032<<+-k ；10≤<b 时，如图5.3.10所示，l 与线段AD 相交，此时01<≤-k ；图5.3.10 图5.3.111>b 时，如图5.3.11所示，l 与线段DC 相交，此时12-<≤-k .所以将k 所在的分为３个子区间：①当12-<≤-k 时，折痕所在的直线l 与线段DC 、AB 相交，如图 5.3.11所示， 折痕的长11||11||1|sin |1222+=+=+==k k k k k d θ，所以225<≤d . ②当321+-≤≤-k 时，折痕所在的直线l 与线段AD 、AB 相交，如图5.3.10所示，折痕的长4341434)21()21(2242222+++=+++-=k k k k k k d .令0)(≥'x g ，即0212333≥-+kk k ，即013246≤-+k k ，即 0)21()1(222≤-+k k .所以321+-≤≤-k ，解得3222+-≤≤-k . 令0)(≤'x g ， 解得 221-≤≤-k . 故当221-≤≤-k 时，)(x g 是减函数，当3222+-≤≤-k 时，)(x g 是增函数.因为2)1(=-g ，)348(4)32(-=+-g ，所以)32()1(+-<-g g . 所以当32+-=k 时，)348(4)32(-=+-g ，)26(23482)32(-=-=+-=g d ，所以，当321+-≤≤-k 时， )26(2-≤d ，③当032<<+-k 时，折痕所在的直线l 与线段AD 、BC 相交，如图5.3.9所示，折痕的长2212112|cos |2k k d +=+==θ.所以34822-<<l ，即)26(22-<<l .综上所述得，当32+-=k 时，折痕的长有最大值，为)26(2-． 【简要评注】本题考查的是学生分类讨论的能力，要求对图形的变化有清晰地认识，在解答过程中可以看到找出分界点以及每一类的最值都需要耐心和细致的计算.3. 求向量数量积的最值例3 （07辽宁理20）已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的外接圆（点C 为圆心）.（I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为1)sin 7()cos 74(22=-+--θθy x ，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF 、，切点为E F 、，求⋅的最大值和最小值.（一）求圆C 的方程打开文件“07辽宁理20.zjz ”，如图5.3.12所示.图5.3.12利用正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上的条件容易求出A 点的坐标，进而求出三角形外接圆的圆心和半径.具体解法如下：因为OAB 是正三角形，可知点A 与点B 关于x 轴对称. 所以oxOA 30=∠. 设点)2,(x x A ，则有：xxxOA 233)tan(==∠，解得：6=x . 由正弦定理知：R OBA OA2)sin(=∠，解得：4=R . 则圆心的坐标为)0,4(.所以圆C 的方程为：16)4(22=+-y x . （二）求⋅的最大值和最小 【动感体验】设α2=∠ECF ，则α2cos ||||⋅=⋅CF CE CF CE . 因4==CF CE ，所以⋅的大小取决于α2cos 的大小. 而这又取决于CP 的大小（如图 所示）.尽管圆M 在以（4，0）为圆心半径为7的圆上，P 又是这圆上任意一点，但需要关注的只是CP 的变化以及对α2cos 大小的影响.进入文件“07辽宁理20.zjz ”的第二页，点M 和点P 均可以被拖动，观察M 和点P 的位置与⋅的大小之间的关系. 如图5.3.13-5.3.16所示为其中的几种情形.图5.3.13 图5.3.14图5.3.15 图5.3.16【思路点拨】观察到||和||CF 为定值，均等于圆C 的半径4，因此⋅的大小直接与ECF ∠有关. 事实上，1cos 22cos 2-=αα，而CPCP CE 4cos ==α. 当CP 取最大值时，α2cos 的值最小；当CP 取最小值时，α2cos 的值最大.【动态解析】如图3所示，当点P 在线段CM 上时，点P 距离点C 最近，这时ECF ∠具有最小值，此时⋅的值最大. 此时，617=-=-=PM CM CP ，而在CPF Rt ∆中，4=CF ，所以32)cos(==∠CP CF FCP . 而FCP ECP ∠=∠，因此911)(cos 2)cos(2-=-∠=∠FCP ECF .所以，⋅的最大值等于：916)91(44-=-⋅⋅.图5.3.17 图5.3.18如图5.3.18所示，当点P 在射线CM 的延长线上时，点P 距离点C 最远，这时ECF∠具有最大值，此时⋅的值最小. 此时，817=+=+=PM CM CP ，而在C P F Rt ∆中，4=CF ，所以21)c o s (==∠CP CF FCP .而FCP ECP ∠=∠，因此211)(cos 2)cos(2-=-∠=∠FCP ECF . 所以，⋅的最小值等于：8)21(44-=-⋅⋅.综上所述⋅的最大值和最小值分别为：916-和8-.【简要评注】求解最值问题的思路一般有两种，一是化为函数的最值问题，即求出对应问题的函数表达式；另一种则是利用图形的几何意义与几何特征求解. 若能将二者有机地结合起来，将能够事半功倍.本节小结与圆和直线有关的最值问题是高考的热点问题，除了代数计算方法外，利用图形的几何性质也是重要且简捷的途径. 一般来说，与圆有关的最值问题常常在直线与圆相切、直线经过圆心等特殊位置取得.[在此处键入]拓展练习1. （07全国II 理20、文21）在直角坐标系xOy 中，以O为圆心的圆与直线4x =相切．（I ）求圆O 的方程；（II ）圆O 与x 轴相交于A B 、两点，圆内的动点P 使PA PO PB 、、成等比数列，求⋅的取值范围．2. （06江西理9、文11）P 是双曲线116922=-y x 的右支上一点，M 、N 分别是圆4)5(22=++y x 和4)5(22=+-y x 上的点，则||||PN PM -的最大值为（ ）.A.6B.7C.8D.9。