教案：韦达定理（一）
王伟光
一、教学目标
1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；
2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

培养逻辑思维及创新思维能力。

二、教学重点、难点
1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．
2．教学难点：韦达定理的灵活应用．
三、课前练习：
x2+2x﹣4=0 3x2+2x﹣6=0 2x2﹣5x﹣3=0
x 1+x
2
=? x
1
+x
2
=? x
1
+x
2
=?
x 1?x
2
=? x
1
?x
2
=? x
1
?x
2
=?
（一）定理的发现及论证
问题1：
对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？
x1+x2=-，x1·x2=，
如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？
设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
∴
a ac
b
b
x
2
4 2
1
-
+
-
=，
a
ac
b
b
x
2
4
2
2
-
-
-
=.()0
4
2≥
-ac
b
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理
三：韦达定理内容：
韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则
1212b c x
+x =x x =a a
-⋅，。

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。

其逆命题：如果12x x ，满足1212b
c x +x =x x =a a
-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程
()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。

四：韦达定理应用：
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。

金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。

（1）、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。

韦达（法国1540－1603）
若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣7x-2007=0的两根，则x 1+x 2与x 1?x 2的值分别是【 】 练习：①下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】
A ．x 2+2x ﹣4=0
B ．x 2﹣4x+4=0
C ．x 2+4x+10=0
D ．x 2+4x ﹣5=0 ②若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为【 】
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
（2）、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。

所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数
式不变（()()f x y =f y x ，，），则称这个代数式为完全对称式，如2211
x +y +x y
，
等。

扩展后，可以视x y -中x 与y -对称。

例2.设x 1，x 2是一元二次方程x 2 – 3x – 1 =0的两个实数根，则221212x x 4x x ++的值为 ▲
练习：①已知m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为【 】
A ．9
B ．±3
C ．3
D ．5 ②已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则
11
+m n
= （3）构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。

扩展后字母可为代数式。

例题4：
已知a 、b 满足221550,1550a a b b ---==-,求a b
b a
+的值
（4）求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定字母系数的值。

例题5：
如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为【 】
A ．3
B ．﹣3
C ．13
D ．﹣13
①关于x 的一元二次方程()2x mx+5m 5=0--的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是【 】
A.2
B. 6
C. 2或6 D . 7
②若关于x 的方程()22x +a 1x+a =0-的两根互为倒数，则a= ▲ . 四：老师总结： 五：学生评语：
六、学校寄语：懒于思索，不愿意钻研和深入理解，自满或满足于微不足道的知识，都是智力贫乏的原因。

这种贫乏用一个词来称呼，就是"愚蠢"。

——高尔基。