§3.1.1 方程的根与函数的零点一、导入新课(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点。

1、先观察下列三个一元二次方程的根与其相应的函数的图象：①方程2230x x --=与函数223y x x =--；②方程2210x x -+=与函数221y x x =-+；③方程2230x x -+=与函数223y x x =-+；教师引导学生解方程，画函数图象（教师在黑板画出第一个函数图象），并引导学生发现方程的根与函数图象和x 轴交点坐标的关系。

容易知道，①中方程的两个根为121;3x x =-=，函数图象与x 轴有两个交点（-1,0）,(3,0), ②中方程的两个实数根为121x x ==，函数图象与x 轴有一个交点（1,0），③中方程无实数根，函数图象与x 轴无交点。

在上面的三个例子中，我们发现：方程有根，函数图象与x 轴就有交点，并且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。

2、那这个结论对一般的一元二次方程及其相应的函数也成立吗？（学生同桌之间交流完成下表）0>V0=V0<V方程12b x a -+=V ，22b x a--=V122b x x a==-无根函数（2b a-+V ，0）（2b a--V，0）（2b a-，0）无交点学生自行验证上述结论，结论成立。

3、这个结论对一般的方程及其相应的函数也成立吗？ 函数y=f(x)与x 轴的交点在x 轴上，交点的纵坐标为0，那么，横坐标就是0= f(x)的解，也就是方程f(x)= 0的根。

若方程有根，则说明所求的横坐标存在，即函数图象与x 轴的交点存在，且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。

结论依然成立。

二、构建概念 由上述结论可知，函数图象与x 轴的交点可以把函数图象和方程联系起来，这样的点他还有一个特别的名字：零点。

那么，怎样用数学语言来描述零点呢？ 请看课本第87页的定义： 定义（教师板书）：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)= 0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

说明：1、零点不是点，而是实数； 2、零点就是方程的根。

我们结合所学的零点一起来描述一下刚刚的结论：方程f(x)= 0有根⇔函数y=f(x)图象与x 轴有交点 ⇔函数y=f(x)有零点 三、例题演练求下列方程的零点32)3()4)(3)(2)(1()2(8)1(23+-=----=-=x x y x x x x y x y四、诱导启发1、通过上面的学习，同学们都有哪些求函数零点的方法呢？ （①求相应方程的根，②利用函数图象求交点）2、若一个函数图象不能直接画出，它相应的方程也不易求根，我们又有什么方法来求得它的零点呢？请同学们看课本例二。

例2、求函数f (x)=ln 26x x +-的零点的个数。

（不易求根，不易画图） 学生会觉得非常困难，激发学生的好奇心和好胜心，并加以引导。

同学们，我们先把这个题目放在一边，来观察函数223y x x =--的图象（之前已在黑板上画出）。

我们发现223y x x =--在区间[-2,1]上有零点，计算f (-2)·f (1)在区间[2,4]上呢？可以发现，f (-2)·f (1)<0, 函数223y x x =--在区间（-2，1）内有零点x=-1，它是方程2230x x --=的一个根，同样地，f (2)·f (4)<0，函数223y x x =--在区间[2,4]上有零点x=3，它也是方程2230x x --=的一个根。

请同学们自己举例观察，看有没有同样的规律存在。

教师给出零点存在性定理，在黑板上板书。

如果函数y=f(x) 在区间[a,b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa )·f (b )<0，那么，函数y=f(x) 在区间（a,b ）上有零点，及存在c ∈（a,b ），使得fc )=0，这个c 也就是方程f(x) =0的根。

五、理解归纳将直线作为x 轴，建立适当的直角坐标系，请作一个函数图象，要求A（a ，y1）、B （b ，y2）都在图象上，问（a ，b ）上可能有几个零点？学生可以通过画图直观地认识到（a ，b ）上可能有零个、奇数个、偶数个、无穷多个零点。

教师特别强调零个零点时，函数图像与其它图像的本质区别：函数图像不连续。

在有零点个数的不确定，可以让雪深深刻、直观地理解零点存在性定理只能判定区间上零点的存在，而不能确定零点个数。

因此，对零点存在性定理做两点特别说明：1、“连续不断”的必要性；2、“存在性”的深层理解。

六、解决疑问再请同学们看课本例2。

例2、求函数f (x)=ln 26x x +-的零点的个数。

解：用计算机或计算器做出x ，f (x)的对应值表（如课本），y xxbyAABOxyb aoBayxO abABx1 2 3456789f (x) -4-1.30691.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.079 14.197由表可知：函数在（2,3）上有零点。

（零点到底有几个呢？此处可让学生先行思考一下）设其中一个零点为0x ，则有f (x0)=0。

而f (x)=ln 26x x +-在定义域上单调递增， 因此，0<x<0x 时，f (x) < f (x0) =0,x>0x 时，f (x) > f (x0) =0。

即函数只有0x 一个零点。

分析归纳：1、零点存在性定理判断零点在某区间上是否存在零点；2、利用函数的单调性或函数图象确定零点的个数。

另一种解法：解：令f (x)=ln 26x x +-=0，则有ln 62x x =-，绘图知： 在（2,3）上方程有一个根，即函数有一个零点。

七、课堂小结1、我们今天学习了函数零点的概念，并探究了方程的根与函数零点的关系；2、求函数零点的一般方法：①求方程的根，②函数图象；3、研究学习了零点存在性定理并学会定理的应用；4、在判断零点个数时可以采取的方法：单调性、函数图象；5、进一步学习、应用了数形结合的思想、转化思想，由特殊到一般的数学方法。

八、作业布置课时作业二十一附板书设计§3.1.1方程的根与函数的零点 零点： 零点存在性定理： 例题演练例1 问题解决例2探索研究诱导启发课堂小结 作业：一．学生具备必要的知识与心理基础．通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础．二．学生缺乏函数与方程联系的观点．高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务．三．直观体验与准确理解定理的矛盾．从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、否命题都不成立，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入．这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围．结合我校学生学习能力和主动性比较弱的实际，我在编写教案时，采取“导学案”形式，让学生提前解决课堂中要解决的一些图形问题，加快了课堂教学进度。

课前让学生先进行有目的的预习，明确下节课要掌握的知识点，知道自己的不足之处，课堂上有针对性的进行教学，激发起学生的学习潜能和学习热情，有力的提高了课堂教学效率。

本节课选自人教版高中数学必修一第三章第一节，是在学生学习了基本初等函数的图象和性质的基础上，引入函数零点的概念，研究函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在的条件，及零点个数的判断方法。

为后面学习“用二分法求方程的近似解”奠定基础。

可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节非常重要。

方程的根与函数零点综合练习题答案一、选择题1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( )A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5B ．f (x )＝x 3－5x －5C ．f (x )＝ln x －3x ＋6D ．f (x )＝e x ＋3x －6[答案] D[解析] 对于函数f (x )＝e x ＋3x －6来说f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2>0∴f (1)f (2)<0，故选D. 2．设函数f (x )＝13x －lnx (x ＞0)则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e )内均有零点B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1， (1，e )内均无零点 C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e )内有零点[答案] D[解析] ∵f (x )＝13x －lnx (x ＞0)，∴f (e )＝13e －1＜0，f (1)＝13＞0，f (1e )＝13e ＋1＞0，∴f (x )在(1，e )内有零点，在(1e ，1)内无零点．故选D.3．)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)[答案] C[解析] ∵f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，即f (0)f (1)<0， ∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．4．函数y ＝3x －1x 2的一个零点是( )A ．－1B ．1C ．(－1,0)D ．(1,0)[答案] B[点评] 要准确掌握概念，“零点”是一个数，不是一个点．5．若函数f (x )是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3，则x 1＋x 2＋x 3的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．不确定[答案] B[解析] 因为f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即f (x )的图象与x 轴有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数．∴x 1＋x 2＋x 3＝0.6．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( ) A ．至少有一实数根 B ．至多有一实数根 C ．没有实数根 D ．有惟一实数根[答案] D[解析] ∵f (x )为单调减函数，x ∈[a ，b ]且f (a )·f (b )<0，∴f (x )在[a ，b ]内有惟一实根x ＝0.7．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；8．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有[答案] C[解析] 若a ＝0，则b ≠0，此时f (x )＝bx ＋c 为单调函数， ∵f (1)>0，f (2)<0，∴f (x )在(1,2)上有且仅有一个零点；若a ≠0，则f (x )为开口向上或向下的抛物线，若在(1,2)上有两个零点或无零点，则必有f (1)·f (2)>0，∵f (1)>0，f (2)<0，∴在(1,2)上有且仅有一个零点，故选C. 9．函数f (x )＝2x －log 12x 的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,2) [答案] B[解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫14＝214－log 1214＝42－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝2－1>0，f (x )在x >0时连续，∴选B. 10．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) [答案] C[解析] 令f (x )＝e x －x －2，则f (1)·f (2)＝(e －3)(e 2－4)<0，故选C. 11．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12 C ．0，－12 D ．2，－12[答案] C[解析] 由条件2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a ∴g (x )＝－ax (2x ＋1)的零点为0和－12.12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 令x 2＋2x －3＝0，∴x ＝－3或1∵x ≤0，∴x ＝－3；令－2＋ln x ＝0，∴ln x ＝2 ∴x ＝e 2>0，故函数f (x )有两个零点．13．函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)[答案] C[解析] 令f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x ，则f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，故选C. 14．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( ) A ．－1和16B ．1和－16 C.12和13D ．－12和－13[答案] B[解析] 由于f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点2和3，∴a ＝5，b ＝6.∴g (x )＝6x 2－5x －1有两个零点1和－16.15．函数f (x )＝(x －1)ln(x －2)x －3的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] A[解析] 令f (x )＝0得，(x －1)ln(x －2)x －3＝0，∴x －1＝0或ln(x －2)＝0，∴x ＝1或x ＝3，∵x ＝1时，ln(x －2)无意义，x ＝3时，分母为零，∴1和3都不是f (x )的零点，∴f (x )无零点，故选A.16．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α、β是函数f (x )的两个零点，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )A ．a <α<b <βB ．a <α<β<bC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b[答案] C[解析] ∵α、β是函数f (x )的两个零点，∴f (α)＝f (β)＝0，又f (x )＝(x －a )(x －b )－2，∴f (a )＝f (b )＝－2<0.结合二次函数f (x )的图象可知，a 、b 必在α、β之间．17．若方程x 2－3x ＋mx ＋m ＝0的两根均在(0，＋∞)内，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤1 B ．0<m ≤1 C ．m >1 D ．0<m <1[答案] B[解析] 设方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，则有Δ＝(m －3)2－4m ≥0，且x 1＋x 2＝3－m >0，x 1·x 2＝m >0，解得0<m ≤1.18．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(0,1) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1][答案] D[解析] 解法1：取m ＝0有f (x )＝－3x ＋1的根x ＝13>0，则m ＝0应符合题设，所以排除A 、B ，当m ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2它的根是x ＝1符合要求，排除C.∴选D.解法2：直接法，∵f (0)＝1，∴(1)当m <0时必成立，排除A 、B ，(2)当m >0时，要使与x 轴交点至少有一个在原点右侧，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(m －3)2－4m >0，－m －32m >0，∴0<m ≤1.(3)当m ＝0时根为x ＝13>0.∴选D.19．已知1x 是方程lgx +x =3的解，2x 是310=+x x的解，求21x x +（ ）A ．23B ．32C ．3D ．3120．方程0lg =-x x 根的个数（ ）A ．无穷多B ．3C ．1D ．0二、填空题21．方程e x －x －2＝0在实数范围内的解有________个．22．用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2，3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 .23．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：则使ax 2[答案] (－∞，－2)∪(3，＋∞)24．(09·湖北理)已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.则a ＝________.[答案] －2 [解析]ax －1x ＋1<0⇔(ax －1)(x ＋1)<0，∵其解集为(－∞，－1)∪(－12，＋∞)，∴a <0且－1和－12是(ax －1)(x ＋1)＝0的两根，解得a ＝－2.[点评] 由方程的根与不等式解集的关系及题设条件知，－12是ax －1＝0的根，∴a ＝－2.25．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，则满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合[解析] ∵－12是函数的零点，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝0，∵f (x )为偶函数，∴f (12)＝0， ∵f (x )在(－∞，0]上递增，f (log 14x )≥f ⎝⎛⎭⎫－12，∴0≥log 14x ≥－12，∴1≤x ≤2， ∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上单调减，又f (log 14x )≥f (12)，∴0≤log 14x ≤12，∴12≤x ≤1，∴12≤x ≤2.故x 的取值集合为{x |12≤x ≤2}． 三、解答题26．证明方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2. [解析] 令f (x )＝(x －2)(x －5)－1 ∵f (2)＝f (5)＝－1＜0，且f (0)＝9＞0.f (6)＝3＞0.∴f (x )在(0,2)和(5,6)内都有零点，又f (x )为二次函数，故f (x )有两个相异实根，且一个大于5、一个小于2.27．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点是－2和3，当x ∈(－2,3)时，f (x )<0，且f (－6)＝36，求二次函数的解析式．[解析] 由条件知f (x )＝a (x ＋2)(x －3)且a >0 ∵f (－6)＝36，∴a ＝1∴f (x )＝(x ＋2)(x －3) 满足条件－2<x <3时，f (x )<0.∴f (x )＝x 2－x －6.28．求函数y ＝x 3－2x 2－x ＋2的零点，并画出它的简图．[解析] 因为x 3－2x 2－x ＋2＝x 2(x －2)－(x －2)＝(x －2)(x 2－1)＝(x －2)(x －1)(x ＋1)， 所以函数的零点为－1,1,2.3个零点把x 轴分成4个区间： (－∞，－1]，[－1,1]，[1,2]，[2，＋∞]．在这4个区间内，取x 的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值)表：x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y … －4.381.8821.13－0.632.63…29．若函数f (x )＝log 3(ax 2－x ＋a )有零点，求a 的取值范围．[解析] ∵f (x )＝log 3(ax 2－x ＋a )有零点，∴log 3(ax 2－x ＋a )＝0有解．∴ax 2－x ＋a ＝1有解．当a ＝0时，x ＝－1.当a ≠0时，若ax 2－x ＋a －1＝0有解，则Δ＝1－4a (a －1)≥0，即4a 2－4a －1≤0，解得1－22≤a ≤1＋22且a ≠0.综上所述，1－22≤a ≤1＋22.30．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[解析] (1)任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0.∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)证法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2.与假设x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．证法2：设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0(Ⅰ)若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1与f (x 0)＝0矛盾．(Ⅱ)若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0，∴f (x 0)>0与f (x 0)＝0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．本节课从较为简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立起一元二次方程的根与相应二次函数零点的关系，然后推广到一般的情形。